Obtenha a derivada das seguintes funções:
f(x)=\frac{1}{\left(x^{2}-3 x-2\right)^{5}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{1}{\bigl(x^{2}-3x-2\bigr)^{5}}.
Este é um caso clássico de aplicação da regra da cadeia em funções do tipo f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{n}.

Passo 2

Reescrevemos f com expoente negativo para facilitar a derivação:
f(x)=\bigl(x^{2}-3x-2\bigr)^{-5}.

Passo 3

Pela regra da cadeia, se f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{n} então
f'(x)=n\bigl(u(x)\bigr)^{n-1}\,u'(x).
Aqui n=-5 e u(x)=x^{2}-3x-2. Logo,
f'(x)=-5\bigl(x^{2}-3x-2\bigr)^{-6}\,u'(x).

Passo 4

Calculamos u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-3x-2\bigr)=2x-3.

Passo 5

Substituindo em f'(x) e colocando em forma de fração, obtemos
f'(x)=-5\bigl(x^{2}-3x-2\bigr)^{-6}(2x-3) =-\frac{5(2x-3)}{\bigl(x^{2}-3x-2\bigr)^{6}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{5(2x-3)}{\bigl(x^{2}-3x-2\bigr)^{6}}.

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