Obtenha a derivada de terceira ordem das seguintes funções:
f(x)=e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de terceira ordem de f(x)=e^{-x}. O conteúdo que vamos usar é a derivação de funções exponenciais e a regra da cadeia, que afirma que
\frac{d}{dx}e^{u(x)}=u'(x)\,e^{u(x)}.

Passo 2

Para a primeira derivada, identifique u(x)=-x, logo u'(x)=-1. Aplicando a regra da cadeia,
f'(x)=u'(x)\,e^{u(x)}=(-1)e^{-x}=-e^{-x}.

Passo 3

Agora derivamos f'(x)=-e^{-x}. De novo u(x)=-x e u'(x)=-1, então
f''(x)=(-1)\bigl(-e^{-x}\bigr)=e^{-x}.

Passo 4

Finalmente, derivamos f''(x)=e^{-x} pela terceira vez:
f'''(x)=(-1)e^{-x}=-e^{-x}.

Passo 5

Aproveitando, notamos o padrão
f^{(n)}(x)=(-1)^{n}e^{-x},
de onde para n=3 obtemos (-1)^3=-1, confirmando f'''(x)=-e^{-x}.

Resposta

f'''(x)=-e^{-x}

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