Obtenha as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=x yx y^2+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver as derivadas parciais da função . Aqui, estamos lidando com derivadas parciais, que são usadas quando temos funções com mais de uma variável e queremos ver como a função muda em relação a uma variável, mantendo a outra constante. Para isso, vamos precisar aplicar regras de derivação, como a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de u' = partialpartial x(xy) = y em relação a v' = partialpartial x(xy^2 + 2) = y^2 , ou seja, partial fpartial x = u'v - uv'v^2 = y(xy^2 + 2) - xy cdot y^2(xy^2 + 2)^2 . Usaremos a regra do quociente, que diz que a derivada de uma fração y(xy^2 + 2) - xy cdot y^2 = xy^3 + 2y - xy^3 = 2y é partial fpartial x = 2y(xy^2 + 2)^2 .
Aqui, e .
Calculando (a derivada de em relação a ):
Calculando (a derivada de em relação a ):
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de u' = partialpartial y(xy) = x em relação a v' = partialpartial y(xy^2 + 2) = 2xy , ou seja, partial fpartial y = u'v - uv'v^2 = x(xy^2 + 2) - xy cdot 2xy(xy^2 + 2)^2 . Novamente, usaremos a regra do quociente.
Dessa vez, x(xy^2 + 2) - xy cdot 2xy = x^2y^2 + 2x - 2x^2y^2 = -x^2y^2 + 2x e -x^2y^2 + 2x = x(-x y^2 + 2) .
Calculando partial fpartial y = x(-x y^2 + 2)(xy^2 + 2)^2 (a derivada de em relação a ):
Calculando (a derivada de em relação a ):
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Podemos fatorar:
Então:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = 2y(xy^2 + 2)^2
partial fpartial y = x(-x y^2 + 2)(xy^2 + 2)^2

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