Obtenha as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=x y^3 raizx y^2+7 x y+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia. Não se preocupe se esses termos parecerem complicados; vou explicar cada um conforme a gente avança.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial x = u cdot partial vpartial x + v cdot partial upartial x em relação a partial upartial x = partialpartial x (x y^3) = y^3 , ou seja, v = (x y^2 + 7 x y + 2)^1/2 .
A função partial vpartial x = 12 (x y^2 + 7 x y + 2)^-1/2 cdot (y^2 + 7 y) é o produto de partial fpartial x = x y^3 cdot 12 (x y^2 + 7 x y + 2)^-1/2 (y^2 + 7 y) + raizx y^2 + 7 x y + 2 cdot y^3 e . Para derivar isso em relação a , usamos a regra do produto, que diz que se você tem duas funções multiplicando, a derivada é a primeira função vezes a derivada da segunda mais a segunda função vezes a derivada da primeira.
Vamos chamar:
Então,
Vamos calcular cada parte:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de em relação a é:
Agora, substituindo de volta:
Podemos simplificar, mas por enquanto, vamos deixar assim.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial y = partialpartial y (x y^3) cdot raizx y^2 + 7 x y + 2 + x y^3 cdot partialpartial y raizx y^2 + 7 x y + 2 em relação a partialpartial y (x y^3) = 3 x y^2 , ou seja, partialpartial y raizx y^2 + 7 x y + 2 = 12 (x y^2 + 7 x y + 2)^-1/2 cdot (2 x y + 7 x) .
Novamente, usamos a regra do produto. Temos:
partial fpartial y = 3 x y^2 cdot raizx y^2 + 7 x y + 2 + x y^3 cdot 12 (x y^2 + 7 x y + 2)^-1/2 (2 x y + 7 x)
Vamos calcular cada parte:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
Substituindo de volta:
Podemos também simplificar essa expressão, mas vamos manter assim por enquanto.

Resposta

As derivadas parciais da função partial fpartial x = x y^3 cdot 12 ( x y^2 + 7 x y + 2 )^-1/2 (y^2 + 7 y) + y^3 cdot raizx y^2 + 7 x y + 2 são:
partial fpartial y = 3 x y^2 cdot raizx y^2 + 7 x y + 2 + x y^3 cdot 12 ( x y^2 + 7 x y + 2 )^-1/2 (2 x y + 7 x)
e

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