Obtenha as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=x^2 y^5-xy^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as derivadas parciais da função . Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente, derivadas parciais. Para resolver isso, a gente vai precisar saber como derivar uma função em relação a uma variável enquanto mantém a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f(x, y) = x^2 y^5 - xy^2 em relação a partial fpartial x = 2x y^5 - 1y^2 , ou seja, . Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante.
A função é:
Derivando cada termo em relação a :
  • A derivada de em relação a é , pois é constante.
  • A derivada de em relação a é , já que é constante.
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial y = 5x^2 y^4 + 2xy^3 em relação a , ou seja, . Desta vez, tratamos como uma constante.
Derivando cada termo em relação a :
  • A derivada de em relação a é , usando a regra da potência.
  • A derivada de em relação a é . Aqui, aplicamos a regra do quociente ou a regra da potência, considerando que é constante.
Então,

Resposta

As derivadas parciais da função partial fpartial x = 2x y^5 - 1y^2 são:
partial fpartial y = 5x^2 y^4 + 2xy^3
e

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