a) Obtenha a diferencial total da energia em função da entropia, volume e número de partículas, E=E(S, V, N)
b) Associe cada derivada com algum parâmetro intensivo e explique o fisicamente o significado de cada derivada.

Passo 1

O enunciado pede para expressar a variação infinitesimal da energia interna E em função das variáveis de estado entropia S, volume V e número de partículas N. Isso usa o conceito de diferencial total para uma função de três variáveis.

Passo 2

A partir de E=E(S,V,N), a diferencial total é
dE = \left(\frac{\partial E}{\partial S}\right)_{V,N}\,dS + \left(\frac{\partial E}{\partial V}\right)_{S,N}\,dV + \left(\frac{\partial E}{\partial N}\right)_{S,V}\,dN.

Passo 3

Define-se \displaystyle T = \left(\frac{\partial E}{\partial S}\right)_{V,N}.
Física: a temperatura T é a taxa de variação da energia interna quando se aumenta a entropia, mantendo V e N fixos.

Passo 4

Define-se \displaystyle -P = \left(\frac{\partial E}{\partial V}\right)_{S,N}.
Física: a pressão P aparece com sinal negativo porque, ao aumentar o volume à custa de trabalho de expansão, a energia interna diminui.

Passo 5

Define-se \displaystyle \mu = \left(\frac{\partial E}{\partial N}\right)_{S,V}.
Física: o potencial químico \mu é a energia necessária (ou liberada, se negativo) para acrescentar uma partícula ao sistema, a entropia e o volume constantes.

Resposta

a) dE = T\,dS - P\,dV + \mu\,dN.
b) \displaystyle T = \left(\frac{\partial E}{\partial S}\right)_{V,N} é a temperatura;
\displaystyle P = -\left(\frac{\partial E}{\partial V}\right)_{S,N} é a pressão;
\displaystyle \mu = \left(\frac{\partial E}{\partial N}\right)_{S,V} é o potencial químico.

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