Obtenha duas formas escalonadas por linha diferentes de
\left[\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede duas formas escalonadas por linha diferentes da matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ 2 & 7\end{pmatrix}.
Lembre que forma escalonada por linha significa que cada linha não nula tem um primeiro elemento não nulo (“pivô”) à direita do pivô da linha anterior, e todas as linhas nulas ficam abaixo das não nulas. Vamos usar operações elementares de linha para obter duas matrizes diferentes que satisfaçam essas condições.

Passo 2

Primeira sequência de operações: R_2 := R_2 - 2R_1 elimina o elemento abaixo do pivô em A. Isso dá
\begin{pmatrix} 1 & 3\\\\ 2 & 7 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{\,R_2 - 2R_1\,}\; \begin{pmatrix} 1 & 3\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
Essa matriz é escalonada: na segunda linha o pivô (que é 1) está à direita do pivô da primeira (que é também 1), e não há linhas nulas antes de linhas não nulas.

Passo 3

Podemos parar a eliminação aqui e adotar
M_1 = \begin{pmatrix}1 & 3\\\ 0 & 1\end{pmatrix}
como uma forma escalonada por linha de A.

Passo 4

Segunda sequência de operações, começando com uma troca de linhas: R_1 \leftrightarrow R_2 em A
\begin{pmatrix} 1 & 3\\\\ 2 & 7 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{\,R_1\leftrightarrow R_2\,}\; \begin{pmatrix} 2 & 7\\\\ 1 & 3 \end{pmatrix}.
Em seguida, R_2 := R_2 - \tfrac12\,R_1 elimina o elemento abaixo do novo pivô:
\begin{pmatrix} 2 & 7\\\\ 1 & 3 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{\,R_2 - \tfrac12R_1\,}\; \begin{pmatrix} 2 & 7\\\\ 0 & -\tfrac12 \end{pmatrix}.
Essa matriz também é escalonada, pois o pivô da segunda linha -\tfrac12 está à direita do pivô da primeira linha 2.

Resposta

As duas formas escalonadas por linha de A são
\begin{pmatrix} 1 & 3\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \begin{pmatrix} 2 & 7\\\\ 0 & -\tfrac12 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados