Obtenha a equação diferencial correspondente à função de transferência
dada por:
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
e pede: “Obtenha a equação diferencial correspondente”. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função de transferência
está escrita como razão entre e para um sistema linear invariante no tempo causal, ou seja:
- Logo, a relação no domínio de Laplace é
- O objetivo é transformar essa relação algébrica em
numa equação diferencial que relacione a saída temporal com a entrada temporal .
Passo 2
Explicar a ideia principal (sem pular etapas):
- Em sistemas lineares com transformada de Laplace, o operador
corresponde, no domínio do tempo, ao operador derivada. Mais precisamente, sob condições usuais (por exemplo, sinais causais e transformadas existentes):
- Se assumirmos condições iniciais nulas (usualmente adotadas ao usar diretamente a função de transferência), essas expressões reduzem para
- Portanto, para obter a equação diferencial correspondente a
é suficiente escrever , reescrever como uma igualdade polinomial em envolvendo e e então inverter termo a termo usando a correspondência (assumindo condições iniciais zero).
Passo 3
Formar a igualdade entre polinômios em
multiplicando em cruz:
Passo 4
Mapear cada termo em
para derivadas no domínio do tempo (assumindo condições iniciais nulas, para obter a equação diferencial padrão do sistema):
-
corresponde a . -
corresponde a . -
corresponde a . -
corresponde a . -
corresponde a . -
corresponde a .
Passo 5
Aplicar a inversa termo a termo na igualdade obtida no Passo 3 (assumindo condições iniciais zero). Assim,
Substituindo todos esses termos, obtemos a equação diferencial no domínio do tempo:
Passo 6
Observações importantes e alternativas:
- A equação do Passo 5 é a equação diferencial de entrada-saída do sistema quando as condições iniciais do sistema são nulas. Em muitas provas e exercícios de teoria de controle isso é exatamente o que se pede ao “obter a equação diferencial correspondente à função de transferência”.
- Se as condições iniciais não forem nulas, ao aplicar a transformada de Laplace aparecem termos adicionais envolvendo
(esses termos aparecem quando se escreve explicitamente e não se assume zero). Nesses casos a forma diferencial do sistema continua sendo a mesma (os coeficientes das derivadas), mas a equação no domínio de Laplace conterá termos extra que representam as condições iniciais; na prática, normalmente se trata as condições iniciais separadamente. - Exemplo rápido para intuição: se a entrada
fosse uma rampa ou degrau, o termo muda conforme a natureza da entrada (por exemplo, para um degrau unitário válido para , tem-se , então o lado direito seria no sentido de distribuições).