Obtenha a equação diferencial correspondente à função de transferência \mathrm{G}(\mathrm{s}) dada por:
\boldsymbol{G}(\boldsymbol{s})=\frac{\boldsymbol{s}+3}{\left(\boldsymbol{s}^{3}+11 \boldsymbol{s}^{2}+12 \boldsymbol{s}+18\right)}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
\mathrm{G}(\mathrm{s})=\frac{\mathrm{s}+3}{\mathrm{s}^{3}+11\mathrm{s}^{2}+12\mathrm{s}+18}
e pede: “Obtenha a equação diferencial correspondente”. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função de transferência \mathrm{G}(\mathrm{s}) está escrita como razão entre Y(\mathrm{s}) e U(\mathrm{s}) para um sistema linear invariante no tempo causal, ou seja:
\mathrm{G}(\mathrm{s})=\frac{Y(\mathrm{s})}{U(\mathrm{s})}.
  • Logo, a relação no domínio de Laplace é
\frac{Y(\mathrm{s})}{U(\mathrm{s})}=\frac{\mathrm{s}+3}{\mathrm{s}^{3}+11\mathrm{s}^{2}+12\mathrm{s}+18}.
  • O objetivo é transformar essa relação algébrica em \mathrm{S} numa equação diferencial que relacione a saída temporal y(t) com a entrada temporal u(t).

Passo 2

Explicar a ideia principal (sem pular etapas):
  • Em sistemas lineares com transformada de Laplace, o operador \mathrm{s} corresponde, no domínio do tempo, ao operador derivada. Mais precisamente, sob condições usuais (por exemplo, sinais causais e transformadas existentes):
\mathcal{L}\{y'(t)\}= \mathrm{s}Y(\mathrm{s}) - y(0^-),
\mathcal{L}\{y''(t)\}= \mathrm{s}^{2}Y(\mathrm{s}) - \mathrm{s}y(0^-) - y'(0^-),
\mathcal{L}\{y^{(3)}(t)\}= \mathrm{s}^{3}Y(\mathrm{s}) - \mathrm{s}^{2}y(0^-) - \mathrm{s}y'(0^-) - y''(0^-).
  • Se assumirmos condições iniciais nulas (usualmente adotadas ao usar diretamente a função de transferência), essas expressões reduzem para
\mathcal{L}\{y^{(n)}(t)\}=\mathrm{s}^{n}Y(\mathrm{s}).
  • Portanto, para obter a equação diferencial correspondente a \mathrm{G}(\mathrm{s}) é suficiente escrever \mathrm{G}(\mathrm{s})=\dfrac{Y(\mathrm{s})}{U(\mathrm{s})}, reescrever como uma igualdade polinomial em \mathrm{s} envolvendo Y(\mathrm{s}) e U(\mathrm{s}) e então inverter termo a termo usando a correspondência \mathrm{s}^{n}Y(\mathrm{s}) \leftrightarrow y^{(n)}(t) (assumindo condições iniciais zero).

Passo 3

Formar a igualdade entre polinômios em \mathrm{s} multiplicando em cruz:
\left(\mathrm{s}^{3}+11\mathrm{s}^{2}+12\mathrm{s}+18\right)Y(\mathrm{s})=(\mathrm{s}+3)U(\mathrm{s}).

Passo 4

Mapear cada termo em \mathrm{s} para derivadas no domínio do tempo (assumindo condições iniciais nulas, para obter a equação diferencial padrão do sistema):
  • \mathrm{s}^{3}Y(\mathrm{s}) corresponde a y^{(3)}(t).
  • \mathrm{s}^{2}Y(\mathrm{s}) corresponde a y''(t).
  • \mathrm{s}Y(\mathrm{s}) corresponde a y'(t).
  • Y(\mathrm{s}) corresponde a y(t).
  • \mathrm{s}U(\mathrm{s}) corresponde a u'(t).
  • U(\mathrm{s}) corresponde a u(t).

Passo 5

Aplicar a inversa termo a termo na igualdade obtida no Passo 3 (assumindo condições iniciais zero). Assim,
\mathrm{s}^{3}Y(\mathrm{s}) \longrightarrow y^{(3)}(t),
11\mathrm{s}^{2}Y(\mathrm{s}) \longrightarrow 11\,y''(t),
12\mathrm{s}Y(\mathrm{s}) \longrightarrow 12\,y'(t),
18Y(\mathrm{s}) \longrightarrow 18\,y(t),
\mathrm{s}U(\mathrm{s}) \longrightarrow u'(t),
3U(\mathrm{s}) \longrightarrow 3\,u(t).
Substituindo todos esses termos, obtemos a equação diferencial no domínio do tempo:
y^{(3)}(t)+11\,y''(t)+12\,y'(t)+18\,y(t)=u'(t)+3\,u(t).

Passo 6

Observações importantes e alternativas:
  • A equação do Passo 5 é a equação diferencial de entrada-saída do sistema quando as condições iniciais do sistema são nulas. Em muitas provas e exercícios de teoria de controle isso é exatamente o que se pede ao “obter a equação diferencial correspondente à função de transferência”.
  • Se as condições iniciais não forem nulas, ao aplicar a transformada de Laplace aparecem termos adicionais envolvendo y(0^-),y'(0^-),y''(0^-) (esses termos aparecem quando se escreve explicitamente \mathcal{L}\{y^{(n)}\} e não se assume zero). Nesses casos a forma diferencial do sistema continua sendo a mesma (os coeficientes das derivadas), mas a equação no domínio de Laplace conterá termos extra que representam as condições iniciais; na prática, normalmente se trata as condições iniciais separadamente.
  • Exemplo rápido para intuição: se a entrada u(t) fosse uma rampa ou degrau, o termo u'(t) muda conforme a natureza da entrada (por exemplo, para um degrau unitário u(t)=1 válido para t\ge0, tem-se u'(t)=\delta(t), então o lado direito seria \delta(t)+3 no sentido de distribuições).

Resposta

y^{(3)}(t)+11\,y''(t)+12\,y'(t)+18\,y(t)=u'(t)+3\,u(t)

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