Obtenha a equação diferencial correspondente à função de transferência \mathrm{G}(\mathrm{s}) dada por:
\boldsymbol{G}(\boldsymbol{s})=\frac{2 \boldsymbol{s}+1}{\left(\boldsymbol{s}^{2}+6 \boldsymbol{s}+2\right)}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
G(s)=\frac{2s+1}{s^{2}+6s+2}
e pede: obter a equação diferencial correspondente que relaciona a saída y(t) com a entrada u(t).
Informações relevantes fornecidas:
  • G(s) é conhecida e igual a \dfrac{2s+1}{s^{2}+6s+2}.
  • A equação diferencial deve ser expressa no domínio do tempo (em t), envolvendo y(t) e u(t).
  • Não foram dados valores de condições iniciais (assumiremos as condições iniciais nulas, como é usual ao trabalhar com função de transferência).

Passo 2

O que significa G(s) na prática? Vou explicar de forma direta e útil para a prova. Denotando por Y(s) a transformada de Laplace da saída y(t) e por U(s) a transformada de Laplace da entrada u(t), a função de transferência é a razão
G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}
quando as condições iniciais são nulas. Aqui:
  • Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} é a transformada de Laplace de y(t).
  • U(s)=\mathcal{L}\{u(t)\} é a transformada de Laplace de u(t).
Dica prática para prova: sempre que te derem G(s) e pedirem o ODE, você pode usar G(s)=Y(s)/U(s) e depois transformar termo a termo para o domínio do tempo.

Passo 3

A partir de G(s)=Y(s)/U(s) escrevemos a relação algébrica no domínio de s:
\bigl(s^{2}+6s+2\bigr)Y(s)=(2s+1)U(s).
Isto é só multiplicar ambos os lados por U(s) e pelo denominador da G(s).

Passo 4

Agora vamos voltar ao domínio do tempo. Precisamos usar a propriedade da transformada de Laplace para derivadas:
  • \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
  • \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0),
    e de modo geral
\mathcal{L}\{y^{(n)}(t)\}=s^{n}Y(s)-\text{termos com condições iniciais.}çõ
Como estamos trabalhando com a função de transferência, adotamos as condições iniciais nulas ( y(0)=y'(0)=\cdots=0 e u(0)=\cdots=0). Sob essa hipótese, os termos com condições iniciais desaparecem, e a correspondência fica simples:
  • s^{2}Y(s) corresponde a y''(t),
  • sY(s) corresponde a y'(t),
  • Y(s) corresponde a y(t),
  • sU(s) corresponde a u'(t),
  • U(s) corresponde a u(t).
Aplicando essa correspondência termo a termo na igualdade do Passo 3 obtemos no domínio do tempo:
y''(t)+6y'(t)+2y(t)=2u'(t)+u(t).

Passo 5

Comentários práticos e dicas:
  • Uma notação compacta muito usada é substituir s por o operador diferencial D=\dfrac{d}{dt}. Assim a equação fica
\bigl(D^{2}+6D+2\bigr)y(t)=\bigl(2D+1\bigr)u(t).
  • Lembrete importante para a prova: a derivação acima vale para condições iniciais nulas. Se as condições iniciais forem não nulas, aparecem termos adicionais (impulsos ou termos de correção) quando você faz a inversa da transformada; por isso a função de transferência é sempre usada com ICs nulas.
  • Regra rápida para a prova: pegue G(s)=\dfrac{N(s)}{D(s)}, escreva D(s)Y(s)=N(s)U(s) e faça s^{k}Y(s)\to y^{(k)}(t) e s^{k}U(s)\to u^{(k)}(t) (assumindo ICs nulas).

Resposta

y''(t)+6y'(t)+2y(t)=2u'(t)+u(t)

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