Obtenha a equação diferencial correspondente à função de transferência
dada por:
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
e pede: obter a equação diferencial correspondente que relaciona a saída
com a entrada
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
é conhecida e igual a . - A equação diferencial deve ser expressa no domínio do tempo (em
), envolvendo e . - Não foram dados valores de condições iniciais (assumiremos as condições iniciais nulas, como é usual ao trabalhar com função de transferência).
Passo 2
O que significa
na prática? Vou explicar de forma direta e útil para a prova. Denotando por
a transformada de Laplace da saída
e por
a transformada de Laplace da entrada
, a função de transferência é a razão
quando as condições iniciais são nulas. Aqui:
-
é a transformada de Laplace de . -
é a transformada de Laplace de .
Dica prática para prova: sempre que te derem
e pedirem o ODE, você pode usar
e depois transformar termo a termo para o domínio do tempo.
Passo 3
A partir de
escrevemos a relação algébrica no domínio de
:
Isto é só multiplicar ambos os lados por
e pelo denominador da
.
Passo 4
Agora vamos voltar ao domínio do tempo. Precisamos usar a propriedade da transformada de Laplace para derivadas:
-
, -
,
e de modo geral
Como estamos trabalhando com a função de transferência, adotamos as condições iniciais nulas (
e
). Sob essa hipótese, os termos com condições iniciais desaparecem, e a correspondência fica simples:
-
corresponde a , -
corresponde a , -
corresponde a , -
corresponde a , -
corresponde a .
Aplicando essa correspondência termo a termo na igualdade do Passo 3 obtemos no domínio do tempo:
Passo 5
Comentários práticos e dicas:
- Uma notação compacta muito usada é substituir
por o operador diferencial . Assim a equação fica
- Lembrete importante para a prova: a derivação acima vale para condições iniciais nulas. Se as condições iniciais forem não nulas, aparecem termos adicionais (impulsos ou termos de correção) quando você faz a inversa da transformada; por isso a função de transferência é sempre usada com ICs nulas.
- Regra rápida para a prova: pegue
, escreva e faça e (assumindo ICs nulas).