Determinar \mathrm{Y}(\mathrm{s}) considerando condições iniciais nulas.
\ddot{\boldsymbol{y}}+6 \dot{\boldsymbol{y}}+8 \boldsymbol{y}=5 \sin (3 \boldsymbol{t})

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais nulas. Dados e pedido:
  • Equação: \ddot{y}+6\dot{y}+8y=5\sin(3t).
  • Condições iniciais: nulas, ou seja y(0)=0 e \dot{y}(0)=0.
  • O que se pede: determinar Y(s), que representa a transformada de Laplace de y(t).

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas que usamos ao aplicar a transformada de Laplace em uma equação diferencial (aqui vai uma mini-aula básica).
  • Definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) (definida para t\ge0),
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}.
  • Transformada de derivadas (fórmulas fundamentais para resolver ODEs):
\mathcal{L}\{\dot{y}(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{\ddot{y}(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-\dot{y}(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s). Aqui s é a variável complexa da transformada (pense em s como um número onde a integral converge).
Observação importante: como as condições iniciais são nulas ( y(0)=0 e \dot{y}(0)=0), essas fórmulas simplificam-se bastante, como veremos.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação
\ddot{y}+6\dot{y}+8y=5\sin(3t),
usando linearidade e as fórmulas das derivadas, obtemos:
\mathcal{L}\{\ddot{y}\}+6\mathcal{L}\{\dot{y}\}+8\mathcal{L}\{y\}=5\mathcal{L}\{\sin(3t)\}.
Substituindo as expressões das transformadas de derivadas com condições iniciais nulas ( y(0)=0,\\ \dot{y}(0)=0):
s^{2}Y(s)+6\,s\,Y(s)+8\,Y(s)=5\mathcal{L}\{\sin(3t)\}(s).

Passo 4

Agora calculamos a transformada de \sin(3t). A fórmula geral é
\mathcal{L}\{\sin(at)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Tomando a=3 obtemos
\mathcal{L}\{\sin(3t)\}(s)=\frac{3}{s^{2}+9}.
Multiplicando pelo fator 5 do lado direito da ODE:
5\mathcal{L}\{\sin(3t)\}(s)=\frac{15}{s^{2}+9}.

Passo 5

Voltando à equação algébrica obtida no passo 3, substituímos o lado direito:
\bigl(s^{2}+6s+8\bigr)Y(s)=\frac{15}{s^{2}+9}.
Isolando Y(s):
Y(s)=\frac{15}{\bigl(s^{2}+9\bigr)\bigl(s^{2}+6s+8\bigr)}.
Podemos também fatorar o polinômio quadrático do denominador:
s^{2}+6s+8=(s+2)(s+4),
logo uma forma fatorada é
Y(s)=\frac{15}{\bigl(s^{2}+9\bigr)(s+2)(s+4)}.

Resposta

Y(s)=\dfrac{15}{\bigl(s^{2}+9\bigr)\bigl(s^{2}+6s+8\bigr)}

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