Determinar
considerando condições iniciais nulas.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais nulas. Dados e pedido:
- Equação:
. - Condições iniciais: nulas, ou seja
e . - O que se pede: determinar
, que representa a transformada de Laplace de .
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas que usamos ao aplicar a transformada de Laplace em uma equação diferencial (aqui vai uma mini-aula básica).
- Definição da transformada de Laplace: para uma função
(definida para ),
- Linearidade:
. - Transformada de derivadas (fórmulas fundamentais para resolver ODEs):
onde
. Aqui
é a variável complexa da transformada (pense em
como um número onde a integral converge).
Observação importante: como as condições iniciais são nulas (
e
), essas fórmulas simplificam-se bastante, como veremos.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação
usando linearidade e as fórmulas das derivadas, obtemos:
Substituindo as expressões das transformadas de derivadas com condições iniciais nulas (
):
Passo 4
Agora calculamos a transformada de
. A fórmula geral é
Tomando
obtemos
Multiplicando pelo fator
do lado direito da ODE:
Passo 5
Voltando à equação algébrica obtida no passo 3, substituímos o lado direito:
Isolando
:
Podemos também fatorar o polinômio quadrático do denominador:
logo uma forma fatorada é