Obtenha uma equação geral da cônica dada abaixo por equações paramétricas
em seguida represente graficamente a cônica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um par de equações paramétricas que descrevem uma cônica. Nosso objetivo é transformar essas equações em uma equação geral só em termos de
e
. Para isso, vamos precisar usar um pouco de trigonometria e manipulação algébrica.
Passo 2
Vamos começar anotando as equações que a gente tem:
Aqui,
é o parâmetro que está variando.
Passo 3
Nosso objetivo é eliminar o
. Para isso, vamos expressar
e
em termos de
e
.
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Passo 4
Agora, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante:
Vamos substituir
e
pelas expressões que encontramos em termos de
e
.
Passo 5
Substituindo na identidade:
Vamos simplificar isso:
Resposta
A equação geral da cônica é:
Essa é a equação de uma hipérbole, que pode ser representada graficamente como duas curvas abertas, simétricas em relação aos eixos coordenados.