Obtenha uma equação vetorial da reta t, paralela ao plano \pi: z=0, que dista 3 dele, e é concorrente com as retas
\begin{aligned} & \mathrm{r}: \mathrm{x}=(1,-1,-1)+\lambda(1,2,4) \\ & \mathrm{s}:\left\{\begin{array}{l} \mathrm{x}-\mathrm{y}=1 \\ 3 \mathrm{y}-2 \mathrm{z}+6=0 \end{array}\right. \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede uma reta t que seja
– paralela ao plano \pi\colon z=0,
– distante 3 dele,
– intersecta (é concorrente com) as retas r e s.
Para que t seja paralela a \pi, seu vetor diretor \mathbf d deve satisfazer \mathbf d\cdot(0,0,1)=0, ou seja, \mathbf d=(d_x,d_y,0).
Para que a distância de t ao plano z=0 seja 3, todas as suas pontos têm coordenada z constante igual a c onde \lvert c\rvert=3. Logo, t fica contida em um dos planos z=3 ou z=-3.

Passo 2

Escolhemos primeiro c=3. Então procuramos os pontos de interseção de r e de s com o plano z=3.

Passo 3

Interseção de r com z=3. A reta r é
\mathbf x_r=(1,-1,-1)+\lambda\,(1,2,4).
Para ter z=-1+4\lambda=3 deve ocorrer
-1+4\lambda=3 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=1.
Isso dá o ponto
A=(1+1,\,-1+2\cdot1,\,-1+4\cdot1)=(2,1,3).

Passo 4

Interseção de s com z=3. A reta s é interseção dos planos
x - y =1, \qquad 3y -2z +6=0.
Colocando z=3 em 3y-2z+6=0 obtemos
3y -2\cdot3 +6=0 \quad\Longrightarrow\quad 3y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=0,
e então x=y+1=1. Logo
B=(1,0,3).

Passo 5

Agora a reta t estará no plano z=3 e passa por A e B, com vetor diretor
\mathbf d = B - A = (1,0,3)-(2,1,3)=(-1,-1,0).
Uma equação vetorial de t para c=3 é
\mathbf x = (2,1,3) + \mu\,(-1,-1,0).

Resposta

\displaystyle \mathbf x = (2,1,3) + \mu\,(-1,-1,0)

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