Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos de \mathrm{E}^{3} que equidistam das três retas
r_{1}:\left\{\begin{array}{l} x=4 \\\ y+z=3 \end{array} \quad r_{2}:\left\{\begin{array}{l} 3 x+y+z=0 \\\ x-y-z=0 \end{array} \quad r_{3}: x-y=x+z=1+z\right.\right.
Descreva o lugar geométrico.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P=(x,y,z) tais que
d(P,r_{1})=d(P,r_{2})=d(P,r_{3}),
onde cada d(P,r_{i}) é a distância de P à reta r_{i}. O conteúdo que vamos usar é (1) expressão vetorial de retas em \mathbb{R}^{3}, (2) fórmula da distância de um ponto a uma reta, e (3) a observação de que, se três retas são paralelas, essa condição se reduz a encontrar, num plano ortogonal à direção comum, o circuncentro de três pontos, e depois “reextrudir” ao longo da direção comum.

Passo 2

Mostramos que as três retas são paralelas e extraímos uma direção comum \mathbf{u} e um ponto em cada reta.
r _1:
x=4,\quad y+z=3
escolhendo parâmetro t em y=t e z=3-t, fica
r_{1}:\;(4,\,0,\,3)+t\,(0,1,-1).
r _2:
3x+y+z=0,\quad x-y-z=0
resolve-se e obtém-se x=0,\;z=-y, logo
r_{2}:\;(0,\,0,\,0)+s\,(0,1,-1).
r _3:
x-y = x+z = 1+z
x=1,\;z=-y, logo
r_{3}:\;(1,\,0,\,0)+u\,(0,1,-1).
Em todas, o vetor diretor é
\mathbf{u}=(0,1,-1).

Passo 3

Para retas paralelas a \mathbf{u}, a distância de P a cada reta depende só da projeção ortogonal de P num plano perpendicular a \mathbf{u}. Escolhemos o plano
\Pi:\{(x,y,z)\mid \mathbf{u}\cdot(x,y,z)=0\} \quad\Longleftrightarrow\quad y-z=0.
A projeção de P=(x,y,z) em \Pi é
Q = P-\frac{\mathbf{u}\cdot P}{\|\mathbf{u}\|^{2}}\,\mathbf{u} = \Bigl(x,\;\frac{y+z}{2},\;\frac{y+z}{2}\Bigr).
Projetando pontos de referência em cada reta (tomamos A_{1}=(4,0,3), A_{2}=(0,0,0), A_{3}=(1,0,0)), obtemos em coordenadas (x,m) no plano \Pi:
Q_{1}=(4,\tfrac{3}{2}),\quad Q_{2}=(0,0),\quad Q_{3}=(1,0).

Passo 4

No plano \Pi temos o triângulo Q_{1}Q_{2}Q_{3}. O lugar geométrico dos pontos equidistantes de Q_{1},Q_{2},Q_{3} é o seu circuncentro. Basta intersectar duas mediatrizes:
Mediatriz de Q_{2}Q_{3} é x=\tfrac{1}{2}.
Mediatriz de Q_{2}Q_{1}: o ponto médio é \bigl(2,\tfrac{3}{4}\bigr) e a reta Q_{2}Q_{1} tem coeficiente angular \tfrac{3/2-0}{4-0}=\tfrac{3}{8}, logo a mediatriz tem coeficiente -\tfrac{8}{3} e passa por \bigl(2,\tfrac{3}{4}\bigr). Interseção com x=\tfrac12 dá para a coordenada m
m-\tfrac{3}{4} =-\tfrac{8}{3}\bigl(\tfrac12-2\bigr) =4 \quad\Longrightarrow\quad m=\tfrac{19}{4}.
Assim o circuncentro em \Pi é
Q^{*}=\Bigl(\tfrac12,\tfrac{19}{4}\Bigr).

Passo 5

Voltam-se aos pontos P em \mathbb{R}^{3} cuja projeção em \Pi é Q^{*}. Esses P formam a reta paralela a \mathbf{u} passando por
\bigl(x,m,m\bigr) =\bigl(\tfrac12,\tfrac{19}{4},\tfrac{19}{4}\bigr).
Portanto o lugar geométrico buscado é a reta em \mathbb{R}^{3} dada por
x=\tfrac12, \quad y+z=2\cdot\tfrac{19}{4}=\tfrac{19}{2}.

Resposta

O lugar geométrico é a reta
\begin{cases} x=\tfrac12,\\\ y+z=\tfrac{19}{2}, \end{cases}
ou seja, todas as combinações \bigl(\tfrac12,\tfrac{19}{4}+t,\tfrac{19}{4}-t\bigr), t\in\mathbb{R}.

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