Obtenha as equações de Maxwell na forma diferencial a partir da sua forma integral.
Passo 1
O enunciado pede para transformar as quatro equações de Maxwell em sua forma integral — lei de Gauss para o campo elétrico, lei de Gauss magnética, lei de Faraday e lei de Ampère–Maxwell — na forma diferencial. Para isso vamos usar o Teorema da Divergência (para passar integrais de superfície a integrais de volume) e o Teorema de Stokes (para passar integrais de linha a integrais de superfície).
Passo 2
Começamos pela lei de Gauss para o campo elétrico, que em forma integral diz
Pelo Teorema da Divergência temos
Como isso vale para qualquer volume
, igualamos os integrandos e obtemos
Passo 3
A lei de Gauss magnética em forma integral é
Aplicando novamente o Teorema da Divergência,
e como vale para qualquer
, concluímos
Passo 4
A lei de Faraday está dada por
Pelo Teorema de Stokes,
e podemos levar a derivada temporal para dentro da integral de superfície. Igualando os integrandos em todo
resulta
Passo 5
Por fim, a lei de Ampère–Maxwell em forma integral é
De novo usando o Teorema de Stokes,
e igualando integrandos obtemos
Resposta
abla!\cdot\mathbf{D} = \rho
abla!\cdot\mathbf{B}
abla\times\mathbf{E} = -,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}
abla\times\mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}