Obtenha as equações de Maxwell na forma diferencial a partir da sua forma integral.

Passo 1

O enunciado pede para transformar as quatro equações de Maxwell em sua forma integral — lei de Gauss para o campo elétrico, lei de Gauss magnética, lei de Faraday e lei de Ampère–Maxwell — na forma diferencial. Para isso vamos usar o Teorema da Divergência (para passar integrais de superfície a integrais de volume) e o Teorema de Stokes (para passar integrais de linha a integrais de superfície).

Passo 2

Começamos pela lei de Gauss para o campo elétrico, que em forma integral diz
\oint_{\partial V}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A} \;=\;\int_{V}\rho\,dV.
Pelo Teorema da Divergência temos
\oint_{\partial V}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A} = \int_{V}\nabla\!\cdot\mathbf{D}\,dV.
Como isso vale para qualquer volume V, igualamos os integrandos e obtemos
\nabla\!\cdot\mathbf{D} \;=\;\rho.

Passo 3

A lei de Gauss magnética em forma integral é
\oint_{\partial V}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A} = 0.
Aplicando novamente o Teorema da Divergência,
\int_{V}\nabla\!\cdot\mathbf{B}\,dV = 0,
e como vale para qualquer V, concluímos
\newline\nabla\!\cdot\mathbf{B} = 0.

Passo 4

A lei de Faraday está dada por
\oint_{\partial S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} \;=\;-\,\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}.
Pelo Teorema de Stokes,
\oint_{\partial S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = \int_{S}\nabla\times\mathbf{E}\,\cdot d\mathbf{A},
e podemos levar a derivada temporal para dentro da integral de superfície. Igualando os integrandos em todo S resulta
\nabla\times\mathbf{E} \;=\;-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

Passo 5

Por fim, a lei de Ampère–Maxwell em forma integral é
\oint_{\partial S}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} \;=\;\int_{S}\Bigl(\mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\Bigr)\cdot d\mathbf{A}.
De novo usando o Teorema de Stokes,
\oint_{\partial S}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = \int_{S}\nabla\times\mathbf{H}\,\cdot d\mathbf{A},
e igualando integrandos obtemos
\nabla\times\mathbf{H} \;=\;\mathbf{J} \;+\;\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.

Resposta

abla!\cdot\mathbf{D} = \rho
abla!\cdot\mathbf{B} =0
abla\times\mathbf{E} = -,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}
abla\times\mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}

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