(a) Obtenha uma expressão para o vetor posição r de uma partícula que descreve um movimento circular uniforme, usando coordenadas cartesianas ortogonais e os vetores unitários i e j. (b) A partir da expressão do vetor posição deduza expressões para a velocidade v e para a aceleração a. (c) Prove vetorialmente que a aceleração no movimento circular uniforme é dirigida para o centro da circunferência.
Passo 1
O enunciado pede para descrever o movimento circular uniforme (MCU) de uma partícula de raio constante
e velocidade angular constante
no plano
. Vamos usar coordenadas cartesianas ortogonais com vetores unitários
e
, e derivar o vetor posição
, depois a velocidade
e a aceleração
, e finalmente mostrar que
aponta para o centro da circunferência.
Passo 2
Chamando
o ângulo que a linha que une a partícula à origem faz com o eixo
em cada instante
, a componente
da posição é
e a componente
é
. Logo, em notação vetorial:
Passo 3
Para obter a velocidade
fazemos derivada de
em relação a
. Como
temos
Passo 4
Aplicando a derivada novamente para obter a aceleração
, usamos as mesmas derivadas de seno e cosseno:
Reconhecendo aí os termos de
, vemos que
Passo 5
Como
, o vetor aceleração é sempre paralelo a
mas apontando no sentido contrário (multiplicado por
). Isso significa que a aceleração é uma força centrípeta, dirigida do ponto onde está a partícula para a origem (centro da circunferência).
Resposta
e como
é proporcional a
, concluímos que a aceleração do MCU é sempre dirigida para o centro da circunferência.