(a) Obtenha uma expressão para o vetor posição r de uma partícula que descreve um movimento circular uniforme, usando coordenadas cartesianas ortogonais e os vetores unitários i e j. (b) A partir da expressão do vetor posição deduza expressões para a velocidade v e para a aceleração a. (c) Prove vetorialmente que a aceleração no movimento circular uniforme é dirigida para o centro da circunferência.

Passo 1

O enunciado pede para descrever o movimento circular uniforme (MCU) de uma partícula de raio constante R e velocidade angular constante \omega no plano xy. Vamos usar coordenadas cartesianas ortogonais com vetores unitários \mathbf{i} e \mathbf{j}, e derivar o vetor posição \mathbf{r}(t), depois a velocidade \mathbf{v}(t) e a aceleração \mathbf{a}(t), e finalmente mostrar que \mathbf{a}(t) aponta para o centro da circunferência.

Passo 2

Chamando \varphi(t)=\omega\,t+\varphi_0 o ângulo que a linha que une a partícula à origem faz com o eixo x em cada instante t, a componente x da posição é R\cos\!\bigl(\varphi(t)\bigr) e a componente y é R\sin\!\bigl(\varphi(t)\bigr). Logo, em notação vetorial:
\mathbf{r}(t) =R\cos\!\bigl(\omega t+\varphi_0\bigr)\,\mathbf{i} +R\sin\!\bigl(\omega t+\varphi_0\bigr)\,\mathbf{j}.

Passo 3

Para obter a velocidade \mathbf{v}(t) fazemos derivada de \mathbf{r}(t) em relação a t. Como
\frac{d}{dt}\cos\!\bigl(\omega t+\varphi_0\bigr)=-\omega\sin\!\bigl(\omega t+\varphi_0\bigr), \quad \frac{d}{dt}\sin\!\bigl(\omega t+\varphi_0\bigr)=\omega\cos\!\bigl(\omega t+\varphi_0\bigr),
temos
\mathbf{v}(t) =\frac{d\mathbf{r}}{dt} =-R\omega\sin\!\bigl(\omega t+\varphi_0\bigr)\,\mathbf{i} +R\omega\cos\!\bigl(\omega t+\varphi_0\bigr)\,\mathbf{j}.

Passo 4

Aplicando a derivada novamente para obter a aceleração \mathbf{a}(t)=d\mathbf{v}/dt, usamos as mesmas derivadas de seno e cosseno:
\mathbf{a}(t) =\frac{d\mathbf{v}}{dt} =-R\omega^2\cos\!\bigl(\omega t+\varphi_0\bigr)\,\mathbf{i} -R\omega^2\sin\!\bigl(\omega t+\varphi_0\bigr)\,\mathbf{j}.
Reconhecendo aí os termos de \mathbf{r}(t), vemos que
\mathbf{a}(t)=-\omega^2\,\mathbf{r}(t).

Passo 5

Como \mathbf{a}(t)=-\omega^2\,\mathbf{r}(t), o vetor aceleração é sempre paralelo a \mathbf{r}(t) mas apontando no sentido contrário (multiplicado por -\omega^2). Isso significa que a aceleração é uma força centrípeta, dirigida do ponto onde está a partícula para a origem (centro da circunferência).

Resposta

\displaystyle \mathbf{r}(t) =R\cos\!\bigl(\omega t+\varphi_0\bigr)\,\mathbf{i} +R\sin\!\bigl(\omega t+\varphi_0\bigr)\,\mathbf{j}, \displaystyle \mathbf{v}(t) =-R\omega\sin\!\bigl(\omega t+\varphi_0\bigr)\,\mathbf{i} +R\omega\cos\!\bigl(\omega t+\varphi_0\bigr)\,\mathbf{j}, \displaystyle \mathbf{a}(t) =-R\omega^2\cos\!\bigl(\omega t+\varphi_0\bigr)\,\mathbf{i} -R\omega^2\sin\!\bigl(\omega t+\varphi_0\bigr)\,\mathbf{j} =-\omega^2\,\mathbf{r}(t),
e como \mathbf{a}(t) é proporcional a -\mathbf{r}(t), concluímos que a aceleração do MCU é sempre dirigida para o centro da circunferência.

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