O piloto de um avião mede a velocidade do vento em relação ao avião. Ele verifica que o módulo desta velocidade vale 25 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e que o ângulo formado entre a direção da velocidade do vento em relação ao avião e a direção do avião vale 60^{\circ} . \mathrm{Um} observador situado no solo informa ao piloto, através do rádio, que a velocidade do vento em relação ao solo possui módulo igual a 45 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. (a) Ache o módulo da velocidade do avião em relação ao solo. (b ) Determine o ângulo formado entre a velocidade do vento e a velocidade do avião, medido pelo observador situado no solo.
Resposta:
(a) 52 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.
(b) 28,7^{\circ}.

Passo 1

O enunciado nos dá:
– A velocidade do vento em relação ao avião, \mathbf v_{w/a}, tem módulo 25, \mathrm{km/h} e forma ângulo de 60^\circ com a direção do avião;
– A velocidade do vento em relação ao solo, \mathbf v_{w}, tem módulo 45, \mathrm{km/h}.
Queremos:
(a) o módulo da velocidade do avião em relação ao solo, V=|\mathbf v_{a}|;
(b) o ângulo \beta entre \mathbf v_{w} e \mathbf v_{a} visto do solo.
Vamos usar adição de velocidades e produto escalar para relacionar magnitudes e ângulos.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas em que o avião se move ao longo do eixo x com velocidade
\mathbf v_{a} = (V,0).
Escrevemos a velocidade do vento em relação ao solo como
\mathbf v_{w} = (u,v),
com u^2 + v^2 = 45^2.
Então a velocidade do vento relativa ao avião é
\mathbf v_{w/a} = \mathbf v_{w} - \mathbf v_{a} = (u - V,\;v),
de modo que
|\mathbf v_{w/a}| = \sqrt{(u-V)^2 + v^2} = 25.
Além disso, o piloto mede o ângulo de 60^\circ entre a direção do avião (vetor \mathbf v_{a}) e a direção de \mathbf v_{w/a}. Note que o vetor \mathbf v_{w/a} aponta no sentido do vento sobre o avião, oposto ao sentido de \mathbf v_{a}, de modo que o ângulo entre eles no produto escalar é na verdade 180^\circ - 60^\circ =120^\circ. Assim, pelo produto escalar:
\mathbf v_{a}\!\cdot\!\mathbf v_{w/a} \;=\;|\mathbf v_{a}|\;|\mathbf v_{w/a}|\cos120^\circ \quad\Longrightarrow\quad (V,0)\cdot(u-V,v)=V\,(u-V)=V\cdot25\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)=-12{,}5\,V.
Dividindo por V\neq0
u - V = -12{,}5 \qquad\Longrightarrow\qquad u = V - 12{,}5.
E da norma de \mathbf v_{w/a}:
(u-V)^2 + v^2 = (-12{,}5)^2 + v^2 = 25^2 \quad\Longrightarrow\quad v^2 = 625 - 156{,}25 = 468{,}75.

Passo 3

Impondo a norma de \mathbf v_{w}:
u^2 + v^2 = 45^2 = 2025.
Substituindo u = V - 12{,}5 e v^2 = 468{,}75:
(V - 12{,}5)^2 + 468{,}75 = 2025 \quad\Longrightarrow\quad V^2 -25V +156{,}25 +468{,}75 -2025 = 0
\Longrightarrow\; V^2 -25V -1400 =0 \;\Longrightarrow\; V = \frac{25 + \sqrt{25^2 +4\cdot1400}}{2} \approx 52\;\mathrm{km/h}.

Passo 4

Para o ângulo \beta entre \mathbf v_{w} e \mathbf v_{a} no solo usamos
\cos\beta =\frac{\mathbf v_{w}\!\cdot\!\mathbf v_{a}}{|\mathbf v_{w}|\,|\mathbf v_{a}|} =\frac{(u,v)\cdot(V,0)}{45\;V} =\frac{u\,V}{45\,V} =\frac{u}{45}.
Como u=V-12{,}5=52-12{,}5=39{,}5, tem-se
\beta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{39{,}5}{45}\bigr)\approx 28{,}7^\circ.

Resposta

(a) 52, \mathrm{km/h}.
(b) 28{,}7^\circ.

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