Obtenha a função de probabilidade de XY e calcule a esperança de X Y, muX Y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente obter a função de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias, X e Y, e depois calcular a esperança do produto dessas variáveis, que chamamos de . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de probabilidade conjunta e como calcular a esperança de produtos de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre função de probabilidade conjunta. Essa função, denotada por , nos dá a probabilidade de X assumir um valor específico e Y assumir um valor específico ao mesmo tempo. Para obter essa função, precisamos saber como X e Y estão relacionadas. Se X e Y forem independentes, a função conjunta é simplesmente o produto das funções de probabilidade individuais de X e Y.

Passo 3

Vamos supor que X e Y sejam independentes (porque, sem mais informações, essa é uma suposição comum). Nesse caso, a função de probabilidade conjunta fica:
fXY(x, y) = fX(x) times fY(y)
Aqui, é a função de probabilidade de X e é a função de probabilidade de Y.

Passo 4

Agora, vamos calcular a esperança do produto das variáveis, E[XY] = sumx sumy x times y times fXY(x, y) . A fórmula para calcular a esperança de duas variáveis aleatórias é:
Se X e Y forem contínuas, usamos integrais em vez de somas. Mas como estamos assumindo que são independentes, podemos simplificar isso.

Passo 5

Como X e Y são independentes, a esperança do produto é igual ao produto das esperanças individuais:
E[XY] = E[X] times E[Y]
Isso significa que primeiro calculamos a esperança de X ( ) e a esperança de Y ( ) separadamente, e depois multiplicamos esses dois valores.

Resposta

A esperança de muXY = E[X] times E[Y] é igual ao produto das esperanças de e :

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