Obtenha a função de probabilidade de XY e calcule a esperança de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente obter a função de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias, X e Y, e depois calcular a esperança do produto dessas variáveis, que chamamos de
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de probabilidade conjunta e como calcular a esperança de produtos de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre função de probabilidade conjunta. Essa função, denotada por
, nos dá a probabilidade de X assumir um valor específico
e Y assumir um valor específico
ao mesmo tempo. Para obter essa função, precisamos saber como X e Y estão relacionadas. Se X e Y forem independentes, a função conjunta é simplesmente o produto das funções de probabilidade individuais de X e Y.
Passo 3
Vamos supor que X e Y sejam independentes (porque, sem mais informações, essa é uma suposição comum). Nesse caso, a função de probabilidade conjunta fica:
Aqui,
é a função de probabilidade de X e
é a função de probabilidade de Y.
Passo 4
Agora, vamos calcular a esperança do produto das variáveis,
. A fórmula para calcular a esperança de duas variáveis aleatórias é:
Se X e Y forem contínuas, usamos integrais em vez de somas. Mas como estamos assumindo que são independentes, podemos simplificar isso.
Passo 5
Como X e Y são independentes, a esperança do produto é igual ao produto das esperanças individuais:
Isso significa que primeiro calculamos a esperança de X (
) e a esperança de Y (
) separadamente, e depois multiplicamos esses dois valores.
Resposta
A esperança de
é igual ao produto das esperanças de
e
: