Sejam X e Y variáveis aleatórias com E(X)= E(Y)=0, Var(X)=Var(Y)=1. Prove que Z=X+Y e U=X-Y então rhoZ U=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para provar que as variáveis e são não correlacionadas ( ). Estamos lidando com conceitos de expectação, variância e correlação em estatística. Vamos precisar lembrar como calcular a covariância e a correlação entre duas variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a correlação rhoZU = Cov(Z, U)raizVar(Z) cdot Var(U) entre e é dada por:
Mas para provar que , basta mostrarmos que a covariância .

Passo 3

Vamos calcular Cov(Z, U) = Cov(X + Y, X - Y) . Sabemos que Cov(X, X) - Cov(X, Y) + Cov(Y, X) - Cov(Y, Y) e , então:
Usando as propriedades da covariância, isso se expande para:

Passo 4

Sabemos que:
Cov(X, X) = Var(X) = 1
Cov(Y, Y) = Var(Y) = 1
Cov(X, Y) = Cov(Y, X)
Substituindo esses valores:
1 - Cov(X, Y) + Cov(X, Y) - 1 = 0

Passo 5

Então, . Como a covariância é zero, a correlação também será zero, pois a correlação é a covariância normalizada.

Resposta

Portanto, , ou seja, as variáveis e são não correlacionadas.

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