Sejam
e
variáveis aleatórias com
. Prove que
então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para provar que as variáveis
e
são não correlacionadas (
). Estamos lidando com conceitos de expectação, variância e correlação em estatística. Vamos precisar lembrar como calcular a covariância e a correlação entre duas variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a correlação
entre
e
é dada por:
Mas para provar que
, basta mostrarmos que a covariância
.
Passo 3
Vamos calcular
. Sabemos que
e
, então:
Usando as propriedades da covariância, isso se expande para:
Passo 4
Sabemos que:
Substituindo esses valores:
Passo 5
Então,
. Como a covariância é zero, a correlação
também será zero, pois a correlação é a covariância normalizada.
Resposta
Portanto,
, ou seja, as variáveis
e
são não correlacionadas.