Obtenha a função de transferência Y(s) / U(s) para o conjunto de equações diferenciais abaixo:
m \ddot{y}+b \cdot(\dot{y}-\dot{u})+k \cdot(y-u)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
m\,\ddot{y}(t) + b\bigl(\dot{y}(t)-\dot{u}(t)\bigr) + k\bigl(y(t)-u(t)\bigr)=0
e pede a função de transferência Y(s)/U(s). Para isso, usamos a transformada de Laplace em cada termo, assumindo condições iniciais nulas y(0)=\dot y(0)=u(0)=\dot u(0)=0.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace e lembrando que
\mathcal{L}\{\ddot y\}=s^2Y(s),\quad \mathcal{L}\{\dot y\}=sY(s),\quad \mathcal{L}\{\dot u\}=sU(s),
obtém-se
m\,s^2Y(s) \;+\; b\bigl(sY(s)-sU(s)\bigr)\;+\; k\bigl(Y(s)-U(s)\bigr)\;=\;0.

Passo 3

Agrupando os termos com Y(s) e com U(s), vem
Y(s)\bigl(m\,s^2 + b\,s + k\bigr)\;=\;U(s)\bigl(b\,s + k\bigr).

Passo 4

Isolando a razão Y(s)/U(s), a função de transferência é
\frac{Y(s)}{U(s)} \;=\;\frac{b\,s + k}{m\,s^2 + b\,s + k}.

Resposta

\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b\,s + k}{m\,s^2 + b\,s + k}.

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