Resolva as seguintes EDOs pelo método clássico:
ddot{y}(t)+8 \dot{y}(t)+16 y(t)=u(t), u(t)=7, \dot{y}(0)=0 e y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária com condições iniciais e entrada constante. Dados fornecidos:
\ddot{y}(t)+8\dot{y}(t)+16y(t)=u(t),
com
u(t)=7,
e condições iniciais
y(0)=1,\qquad \dot{y}(0)=0.
A tarefa é encontrar a função y(t) que satisfaz a EDO e as condições iniciais, usando o método clássico. Nada mais será assumido além disso.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com u(t)=0):
\ddot{y}_h+8\dot{y}_h+16y_h=0.
Para resolver, usamos a ansatz exponential \;y_h(t)=e^{rt}\;. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica:
r^2+8r+16=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. O discriminante é
\Delta = 8^2-4\cdot1\cdot16 = 64-64 = 0,
portanto há uma raiz real dupla. A raiz é
r = \frac{-8}{2} = -4.

Passo 3

Quando a equação característica tem uma raiz dupla r=-4, a solução geral da parte homogênea é
y_h(t)=\big(C_1 + C_2 t\big)e^{-4t},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais. Uma breve justificativa: para raízes distintas usamos e^{r_1 t} e e^{r_2 t} como soluções independentes; para raiz dupla o segundo motivo independente é t e^{rt}.

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular y_p(t) da equação completa com o termo forçante constante u(t)=7. Pelo método dos coeficientes indeterminados, para uma força constante tentamos uma solução particular constante:
y_p(t)=A,
onde A é um número a determinar. Substituindo em
\ddot{y}+8\dot{y}+16y=7 temos \ddot{y}_p=0, \dot{y}_p=0, logo
16A=7 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{7}{16}.
(Escolhemos constante porque a derivada de uma constante é zero e isso simplifica; também verificamos que uma constante não é solução da homogênea, então a escolha é válida.)

Passo 5

A solução geral da EDO é soma da homogênea com a particular:
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=\big(C_1 + C_2 t\big)e^{-4t} + \frac{7}{16}.
Agora usamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.

Passo 6

Aplicamos y(0)=1. Substituindo t=0 em y(t):
y(0)=\big(C_1 + C_2\cdot 0\big)e^{0} + \frac{7}{16} = C_1 + \frac{7}{16}.
Igualando a 1 obtemos
C_1 + \frac{7}{16} = 1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = 1 - \frac{7}{16} = \frac{9}{16}.

Passo 7

Agora precisamos de \dot{y}(t) para usar \dot{y}(0)=0. Diferenciando y(t):
usar regra do produto para \big(C_1 + C_2 t\big)e^{-4t}.
Primeiro, escrevemos
y(t)=\big(C_1 + C_2 t\big)e^{-4t} + \frac{7}{16}.
A derivada é
\dot{y}(t)=\frac{d}{dt}\big[(C_1 + C_2 t)e^{-4t}\big] + 0.
Aplicando a regra do produto:
\dot{y}(t)=C_2 e^{-4t} + (C_1 + C_2 t)(-4)e^{-4t}.
Simplificando:
\dot{y}(t)=\big(C_2 - 4C_1 - 4C_2 t\big)e^{-4t}.

Passo 8

Agora impondo \dot{y}(0)=0. Substituindo t=0 em \dot{y}(t):
\dot{y}(0)=\big(C_2 - 4C_1 - 4C_2\cdot 0\big)e^{0} = C_2 - 4C_1.
Igualando a zero:
C_2 - 4C_1 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_2 = 4C_1.
Substituímos C_1=\dfrac{9}{16} obtido antes:
C_2 = 4\cdot\frac{9}{16} = \frac{9}{4}.

Passo 9

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral obtemos a solução particular com as condições iniciais satisfeitas:
y(t)=\left(\frac{9}{16} + \frac{9}{4}\,t\right)e^{-4t} + \frac{7}{16}.
Opcionalmente podemos fatorar \dfrac{9}{16}:
y(t)=\frac{9}{16}\big(1+4t\big)e^{-4t} + \frac{7}{16},
que é algebraicamente equivalente.

Resposta

y(t)=\left(\frac{9}{16} + \frac{9}{4}\,t\right)e^{-4t} + \frac{7}{16}

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