Para o sistema
, com realimentação unitária, esboçar o lugar geométrico das raízes. ( 2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico das raízes (LGR) de um sistema em malha fechada com realimentação unitária cujo laço aberto é
O conteúdo necessário é análise de pólos e zeros, definição de segmentos válidos no eixo real, cálculo de assimptotas, pontos de ruptura e ângulos de partida.
Passo 2
Identificamos os pólos e zeros do laço aberto:
- Zeros em
e . - Pólos em
e nas raízes de , que são
Passo 3
Determinamos os trechos do eixo real que pertencem ao LGR. Marcando em ordem crescente
,
,
,
,
, testamos a paridade do número de polo
eros à direita:
- Para
: 3 polos/zeros à direita → trecho válido. - Para
: 2 à direita → inválido. - Para
: 1 à direita → válido. - Para
: inválido.
Passo 4
Há
pólos e
zeros, logo
assimptota.
O centróide é
O centróide é
O único ângulo de assimptota é
Passo 5
O ponto de ruptura (breakaway/break-in) no eixo real satisfaz
. Depois de calcular, encontra-se
local onde dois ramos se juntam/partem no segmento
.
Passo 6
Nos pólos complexos
calculamos o ângulo de partida
. Para
:
- ângulos dos zeros:
, , - ângulos dos pólos em
e em : e (cada).
Logo
e simetricamente
no conjugado.
Resposta
O LGR tem estas características:
• Pólos marcados com “×” em
,
.
• Zeros marcados com “○” em ,
.
• Segmentos no eixo real:
• Zeros marcados com “○” em
• Segmentos no eixo real:
- válido para
; - inválido em
; - válido em
.
• Uma única assimptota saindo decom ângulo .
• Ramificação no eixo real em.
• Ângulo de partida nos pólosde .