Para o sistema G(s), com realimentação unitária, esboçar o lugar geométrico das raízes. ( 2,0 pontos)
G(s)=\frac{K(s+10)(s+20)}{(s+30)\left(s^{2}-20 s+200\right)}

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico das raízes (LGR) de um sistema em malha fechada com realimentação unitária cujo laço aberto é
G(s)=\frac{K\,(s+10)(s+20)}{(s+30)\bigl(s^2-20s+200\bigr)}.
O conteúdo necessário é análise de pólos e zeros, definição de segmentos válidos no eixo real, cálculo de assimptotas, pontos de ruptura e ângulos de partida.

Passo 2

Identificamos os pólos e zeros do laço aberto:
  • Zeros em s=-10 e s=-20.
  • Pólos em s=-30 e nas raízes de s^2-20s+200=0, que são
s = \frac{20\pm\sqrt{400-800}}{2}=10\pm10\,j.

Passo 3

Determinamos os trechos do eixo real que pertencem ao LGR. Marcando em ordem crescente -\infty, -30, -20, -10, +\infty, testamos a paridade do número de polo s+zeros à direita:
  • Para -\infty<s<-30: 3 polos/zeros à direita → trecho válido.
  • Para -30<s<-20: 2 à direita → inválido.
  • Para -20<s<-10: 1 à direita → válido.
  • Para -10<s<+\infty: 0\to inválido.

Passo 4

p=3 pólos e z=2 zeros, logo p-z=1 assimptota.
O centróide é
\sigma_a=\frac{\sum\text{pólos}-\sum\text{zeros}}{p-z} =\frac{(-30+10+10)-(-10-20)}{1}=20.ó
O único ângulo de assimptota é
\phi_a=\frac{(2k+1)\,180^\circ}{1}=180^\circ.

Passo 5

O ponto de ruptura (breakaway/break-in) no eixo real satisfaz \frac{dK}{ds}=0. Depois de calcular, encontra-se
s\approx -15,
local onde dois ramos se juntam/partem no segmento -20<s<-10.

Passo 6

Nos pólos complexos 10\pm10j calculamos o ângulo de partida \phi_d. Para s_0=10+10j:
  • ângulos dos zeros: \arg(s_0+10)\approx26,6^\circ, \arg(s_0+20)\approx18,4^\circ,
  • ângulos dos pólos em -30 e em 10-10j: 14,0^\circ e 90^\circ (cada).
    Logo
\phi_d=180^\circ+\bigl(26,6+18,4\bigr)-\bigl(14+90+14\bigr)\approx106,9^\circ,
e simetricamente -106,9^\circ no conjugado.

Resposta

O LGR tem estas características:
• Pólos marcados com “×” em s=-30, s=10\pm10j.
• Zeros marcados com “○” em s=-20, s=-10.
• Segmentos no eixo real:
  • válido para -\infty<s<-30;
  • inválido em -30<s<-20;
  • válido em -20<s<-10.
    • Uma única assimptota saindo de \Re(s)=20 com ângulo 180^\circ.
    • Ramificação no eixo real em s\approx-15.
    • Ângulo de partida nos pólos 10\pm10j de \pm106,9^\circ.

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