Obtenha os gráficos das funções dadas em uma mesma tela. Como esses gráficos estão relacionados?
y=\operatorname{tg} x,-\pi / 2<x<\pi / 2 ; \quad y=\operatorname{tg}^{-1} x ; \quad y=x

Passo 1

O enunciado pede que eu desenhe, na mesma tela, os gráficos das três funções abaixo e explique como esses gráficos se relacionam:
y=\tan x,\quad -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2};
y=\arctan x;
y=x.
Informações dadas que eu devo usar: os três ramos a serem desenhados (domínios/intervalos), e a noção de que uma é a inversa da outra ( \tan e \arctan) quando \tan é restrita ao intervalo indicado. A pergunta final é: como esses gráficos estão relacionados?

Passo 2

Análise detalhada de y=\tan x no intervalo \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).
  • Domínio: \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). Isso vem do fato de que \tan x tem assíntotas verticais onde \cos x=0, i.e. em x=\pm\frac{\pi}{2} (essas não pertencem ao domínio).
  • Imagem (contradomínio efetivo): toda a reta \mathbb{R}. Para x aproximando-se de \pm\frac{\pi}{2} a partir do interior do intervalo, \tan x tende a \pm\infty.
  • Monotonicidade: \tan x é estritamente crescente em \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). Prova rápida: a derivada é \frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}>0para todo x no intervalo (porque \cos x\neq0), logo crescimento estrito.
  • Comportamento perto da origem: para x pequeno vale a aproximação \tan x\approx x (expansão de Taylor ou limite \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1), então o gráfico de \tan x passa por (0,0) e, perto de 0, fica muito próximo da reta y=x.
  • Pontos de referência para desenhar sem calculadora: \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,577, \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1, \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}\approx 1,732.
  • Assíntotas: verticais em x=\pm\frac{\pi}{2}. No esboço, desenhe linhas pontilhadas verticais nesses x.

Passo 3

Análise detalhada de y=\arctan x.
  • Definição e domínio: \arctan:\mathbb{R}\to\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). A função \arctan x é a inversa da restrição \tan:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\to\mathbb{R}.
  • Imagem: \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).
  • Monotonicidade: \arctan x é estritamente crescente para todo x. Prova: a derivada é \frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}>0para todo x\in\mathbb{R}.
  • Assíntotas: horizontais em y=\pm\frac{\pi}{2}. De fato, \lim_{x\to+\infty}\arctan x=\frac{\pi}{2},\qquad \lim_{x\to-\infty}\arctan x=-\frac{\pi}{2}.
  • Comportamento perto da origem: \arctan x\approx x para x pequeno (mesmo limite inverso), e passa por (0,0).
  • Pontos de referência para desenhar: \arctan 1=\frac{\pi}{4}\approx 0,785, \arctan\left(\sqrt{3}\right)=\frac{\pi}{3}\approx 1,047, \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}\approx 0,524.

Passo 4

Análise de y=x.
  • É a reta identidade: domínio \mathbb{R}, imagem \mathbb{R}, crescente com coeficiente angular 1.
  • Passa por (0,0) e é a bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes. Esta reta será útil porque o gráfico de uma função inversa é a reflexão do gráfico da função original em relação a essa reta.

Passo 5

Relação entre \tan e \arctan (inversas) e consequência geométrica.
  • Por definição, para todo x\in\mathbb{R} \tan(\arctan x)=x,e para todo x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \arctan(\tan x)=x.
  • Geometricamente isso significa: se (a,b) é um ponto do gráfico de \tan x (com a no intervalo \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)), então (b,a) é ponto do gráfico de \arctan x. Ou seja, o gráfico de \arctan x é a reflexão do gráfico de \tan x em torno da reta y=x.
  • Consequência prática: as assíntotas verticais de \tan x em x=\pm\frac{\pi}{2} refletem-se nas assíntotas horizontais de \arctan x em y=\pm\frac{\pi}{2}.

Passo 6

Interseções entre os três gráficos e observações finais para o esboço conjunto.
  • Interseção entre y=\tan x e y=x: equacionamos \tan x = x com x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). Considere g(x)=\tan x - x. Temos g'(x)=\operatorname{sec}^2 x-1=\tan^2 x\ge 0, com igualdade só em x=0. Logo g é não-decrescente e g(0)=0. Assim a única raiz de g no intervalo é x=0. Portanto essas curvas se cruzam apenas em (0,0).
  • Interseção entre y=\arctan x e y=x: equacionamos \arctan x = x. Considere h(x)=\arctan x - x. Temos h'(x)=\frac{1}{1+x^2}-1=-\frac{x^2}{1+x^2}\le 0, com igualdade só em x=0. Assim h é estritamente decrescente e h(0)=0, logo a única solução é x=0. Portanto também se cruzam apenas em (0,0).
  • Conclusão sobre interseções: os três gráficos têm um ponto em comum: (0,0). Não há outros pontos comuns entre \tan x (no ramo dado) e \arctan x com a reta y=x.
  • Instrução prática para desenhar tudo na mesma tela:
    1. Trace os eixos x e y e a reta y=x.
    2. Marque as linhas pontilhadas x=\pm\frac{\pi}{2} (assíntotas verticais da \tan).
    3. Desenhe o ramo de \tan x crescente que sai de -\infty perto de x=-\frac{\pi}{2}, passa por (0,0), e tende a +\infty quando x\to\frac{\pi}{2}^-; use os pontos de referência citados.
    4. Desenhe as assíntotas horizontais y=\pm\frac{\pi}{2} (pontilhadas) para orientar \arctan x.
    5. Desenhe \arctan x como a reflexão do ramo de \tan x em relação a y=x: curva crescente que se aproxima de y=\pm\frac{\pi}{2} para x\to\pm\infty e passa por (0,0); use os pontos de referência citados para posicionar corretamente.
    6. Observe que perto da origem tanto \tan x quanto \arctan x ficam muito próximas da reta y=x.
  • Motivação/ânimo: ao desenhar, comece pelo eixo e pela reta y=x, marque as assíntotas e um punhado de pontos (os valores especiais dados) — com isso o esboço fica bem fiel e rápido de fazer na prova.

Resposta

Os três gráficos: o ramo de y=\tan x em \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right), o gráfico de y=\arctan x em \mathbb{R} e a reta y=x, todos passam por (0,0); y=\tan x tem assíntotas verticais em x=\pm\frac{\pi}{2} e imagem \mathbb{R}; y=\arctan x tem assíntotas horizontais em y=\pm\frac{\pi}{2} e imagem \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).
Relação entre eles: y=\arctan x é a inversa de y=\tan x (na restrição dada), logo o gráfico de \arctan é a reflexão do gráfico de \tan em relação à reta y=x; ambas são estritamente crescentes e só se intersectam com y=x no ponto (0,0).

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