Obtenha os gráficos das funções dadas em uma mesma tela. Como esses gráficos estão relacionados?
Passo 1
O enunciado pede que eu desenhe, na mesma tela, os gráficos das três funções abaixo e explique como esses gráficos se relacionam:
Informações dadas que eu devo usar: os três ramos a serem desenhados (domínios/intervalos), e a noção de que uma é a inversa da outra (
e
) quando
é restrita ao intervalo indicado. A pergunta final é: como esses gráficos estão relacionados?
Passo 2
Análise detalhada de
no intervalo
.
- Domínio:
. Isso vem do fato de que tem assíntotas verticais onde , i.e. em (essas não pertencem ao domínio). - Imagem (contradomínio efetivo): toda a reta
. Para aproximando-se de a partir do interior do intervalo, tende a . - Monotonicidade:
é estritamente crescente em . Prova rápida: a derivada é para todo no intervalo (porque ), logo crescimento estrito. - Comportamento perto da origem: para
pequeno vale a aproximação (expansão de Taylor ou limite ), então o gráfico de passa por e, perto de , fica muito próximo da reta . - Pontos de referência para desenhar sem calculadora:
, , . - Assíntotas: verticais em
. No esboço, desenhe linhas pontilhadas verticais nesses .
Passo 3
Análise detalhada de
.
- Definição e domínio:
. A função é a inversa da restrição . - Imagem:
. - Monotonicidade:
é estritamente crescente para todo . Prova: a derivada é para todo . - Assíntotas: horizontais em
. De fato, - Comportamento perto da origem:
para pequeno (mesmo limite inverso), e passa por . - Pontos de referência para desenhar:
, , .
Passo 4
Análise de
.
- É a reta identidade: domínio
, imagem , crescente com coeficiente angular . - Passa por
e é a bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes. Esta reta será útil porque o gráfico de uma função inversa é a reflexão do gráfico da função original em relação a essa reta.
Passo 5
Relação entre
e
(inversas) e consequência geométrica.
- Por definição, para todo
e para todo - Geometricamente isso significa: se
é um ponto do gráfico de (com no intervalo ), então é ponto do gráfico de . Ou seja, o gráfico de é a reflexão do gráfico de em torno da reta . - Consequência prática: as assíntotas verticais de
em refletem-se nas assíntotas horizontais de em .
Passo 6
Interseções entre os três gráficos e observações finais para o esboço conjunto.
- Interseção entre
e : equacionamos com . Considere . Temos , com igualdade só em . Logo é não-decrescente e . Assim a única raiz de no intervalo é . Portanto essas curvas se cruzam apenas em . - Interseção entre
e : equacionamos . Considere . Temos , com igualdade só em . Assim é estritamente decrescente e , logo a única solução é . Portanto também se cruzam apenas em . - Conclusão sobre interseções: os três gráficos têm um ponto em comum:
. Não há outros pontos comuns entre (no ramo dado) e com a reta . - Instrução prática para desenhar tudo na mesma tela:
- Trace os eixos
e e a reta . - Marque as linhas pontilhadas
(assíntotas verticais da ). - Desenhe o ramo de
crescente que sai de perto de , passa por , e tende a quando ; use os pontos de referência citados. - Desenhe as assíntotas horizontais
(pontilhadas) para orientar . - Desenhe
como a reflexão do ramo de em relação a : curva crescente que se aproxima de para e passa por ; use os pontos de referência citados para posicionar corretamente. - Observe que perto da origem tanto
quanto ficam muito próximas da reta .
- Trace os eixos
- Motivação/ânimo: ao desenhar, comece pelo eixo e pela reta
, marque as assíntotas e um punhado de pontos (os valores especiais dados) — com isso o esboço fica bem fiel e rápido de fazer na prova.
Resposta
Os três gráficos: o ramo de
em
, o gráfico de
em
e a reta
, todos passam por
;
tem assíntotas verticais em
e imagem
;
tem assíntotas horizontais em
e imagem
.
Relação entre eles: é a inversa de
(na restrição dada), logo o gráfico de
é a reflexão do gráfico de
em relação à reta
; ambas são estritamente crescentes e só se intersectam com
no ponto
.
Relação entre eles: