Suponha que f é uma função injetora.
\operatorname{Se} f(6)=17, o que é f^{-1}(17) ?

Passo 1

O enunciado dá a informação \,f(6)=17\, e diz que f é injetora. A pergunta é: qual é o valor de \,f^{-1}(17)? Listei as informações relevantes:
  • f é injetora.
  • f(6)=17.
    A missão é encontrar o elemento do domínio que é enviado em 17 pela função f.

Passo 2

Explicação do que significa “injetora” (passo didático): uma função f é injetora se, sempre que \,f(x_1)=f(x_2)\,, então necessariamente \,x_1=x_2. Em palavras: dois valores distintos do domínio não podem ser mapeados para o mesmo valor na imagem. Isso garante unicidade do antecedente de cada valor da imagem.
Explicação do que significa f^{-1} aqui: a notação \,f^{-1}(y)\, representa o elemento x do domínio tal que \,f(x)=y\,, desde que y pertença à imagem de f. Como o enunciado nos diz que \,f(6)=17, sabemos que 17 está na imagem de f, então faz sentido perguntar por \,f^{-1}(17).

Passo 3

Aplicando a definição e a injetividade: seja a=f^{-1}(17). Por definição de inversa f(a)=17. Mas também temos f(6)=17. Pela injetividade, se f(a)=f(6) então a=6. Logo o antecedente único de 17 é 6.
Pequeno exemplo para fixar a ideia (didático): se tivéssemos f(x)=x+11, então f(6)=17 e f^{-1}(y)=y-11. Assim f^{-1}(17)=17-11=6. Esse exemplo mostra concretamente a mesma conclusão: o único valor que vai para 17 é 6.

Resposta

6

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