1. Obtenha a igualdade (1+i)^{2}=2 i e, em seguida, fazendo uso dela, reescreva na forma algébrica (w=a+b i) o número complexo
z=\frac{(1+i)^{80}-(1+i)^{82}}{i^{96}} ;

Passo 1

O enunciado pede para obter (1+i)^2 = 2i e, em seguida, usar esse resultado para reescrever na forma algébrica w = a + bi o número complexo
z = \frac{(1+i)^{80} - (1+i)^{82}}{i^{96}}.
O conteúdo envolve manipulação de potências de números complexos e uso da periodicidade de i.

Passo 2

Calcular (1+i)^2 por expansão:
(1+i)^2 = 1^2 + 2\cdot1\cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i.

Passo 3

Usando (1+i)^2 = 2i, escrevemos
(1+i)^{80} = \bigl((1+i)^2\bigr)^{40} = (2i)^{40} = 2^{40}\,i^{40}.
Como i^4 = 1, segue i^{40} = (i^4)^{10} = 1. Logo,
(1+i)^{80} = 2^{40}.

Passo 4

Para (1+i)^{82} temos
(1+i)^{82} = (1+i)^{80}\,(1+i)^2 = 2^{40}\cdot 2i = 2^{41}i.

Passo 5

O numerador de z fica
(1+i)^{80} - (1+i)^{82} = 2^{40} - 2^{41}i.

Passo 6

O denominador é
i^{96} = (i^4)^{24} = 1^{24} = 1.

Passo 7

Dividindo numerador por denominador,
z = \frac{2^{40} - 2^{41}i}{1} = 2^{40} - 2^{41}i.

Passo 8

Na forma z = a + bi identificamos
a = 2^{40},\quad b = -2^{41}.

Resposta

z = 2^{40} - 2^{41}i

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