Obtenha as integrais indefinidas abaixo:
\int \frac{2 \operatorname{sen} x}{\sqrt{3-\cos x}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{2\operatorname{sen} x}{\sqrt{3-\cos x}}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A variável de integração é x.
  • No integrando aparece a raiz \sqrt{3-\cos x}, ou seja, há uma expressão composta (uma função dentro de outra).
  • Não foi dado domínio, mas vale notar que \cos x\in[-1,1], então 3-\cos x\in[2,4] — a expressão dentro da raiz é sempre positiva, não há problema com a raiz.

Passo 2

Idéia do método (explicação didática): quando a integranda tem uma função composta como \sqrt{3-\cos x} e o numerador envolve a derivada (ou quase a derivada) da parte interna, é natural tentar uma substituição do tipo u= (parte interna). Isso simplifica a integral transformando-a em uma integral em u, muitas vezes com potências simples.
Vou, portanto, escolher a substituição
u = 3 - \cos x.
Aqui u é a nova variável que representa a expressão dentro da raiz. O objetivo é escrever toda a integral em termos de u e du.

Passo 3

Calcular o diferencial du (a “regra da cadeia” aplicada na substituição):
  • Derivada de \cos x em relação a x é -\operatorname{sen} x.
  • Como u = 3 - \cos x, tem-se
\frac{du}{dx} = -\frac{d}{dx}(\cos x) = -(-\operatorname{sen} x) = \operatorname{sen} x.
Portanto, em diferencial,
du = \operatorname{sen} x\,dx.
Explicação breve: a derivada de -\cos x é \operatorname{sen} x; por isso du=\operatorname{sen} x\,dx. Isso é útil porque o numerador da integral original é 2\operatorname{sen} x\,dx.

Passo 4

Fazer a substituição na integral usando u e du:
  • Observa-se que \operatorname{sen} x\,dx = du.
  • E que \sqrt{3-\cos x} = \sqrt{u}.
Substituindo na integral original:
\int \frac{2\operatorname{sen} x}{\sqrt{3-\cos x}}\,dx = \int \frac{2\,du}{\sqrt{u}}.

Passo 5

Reescrever a integral em potência para aplicar a regra da potência:
\frac{2}{\sqrt{u}} = 2u^{-1/2}.
Logo a integral ficou
\int 2u^{-1/2}\,du.

Passo 6

Integrar usando a regra da potência: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-\tfrac{1}{2}, então
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{1/2}}{1/2} = 2u^{1/2}.
Multiplicando pelo fator 2 que está à frente:
\int 2u^{-1/2}\,du = 2\cdot 2u^{1/2} + C = 4u^{1/2} + C.

Passo 7

Voltar à variável original x substituindo u=3-\cos x. Assim a primitiva em x é
4\sqrt{u}+C \longrightarrow 4\sqrt{3-\cos x}+C.

Passo 8

Verificação rápida (diferenciação para checar): diferenciar F(x)=4\sqrt{3-\cos x}.
  • Primeiro, F(x)=4(3-\cos x)^{1/2}.
  • Pela regra da cadeia,
F'(x)=4\cdot\frac{1}{2}(3-\cos x)^{-1/2}\cdot\frac{d}{dx}(3-\cos x).
  • Como \frac{d}{dx}(3-\cos x)=\operatorname{sen} x, obtemos
F'(x)=2\cdot\frac{\operatorname{sen} x}{\sqrt{3-\cos x}}=\frac{2\operatorname{sen} x}{\sqrt{3-\cos x}},
que é exatamente o integrando. Confirmação feita.

Passo 9

Observações finais e dicas para a prova:
  • Padrão útil: quando ver \sqrt{a+b\cos x} ou \sqrt{a+b\sin x} e o numerador contiver \sin x\,dx ou \cos x\,dx, experimente u=a+b\cos x ou u=a+b\sin x porque a derivada da função trigonométrica aparece no diferencial.
  • Sempre cheque o sinal ao calcular du (derivada de \cos é -\operatorname{sen}, de \operatorname{sen} é \cos).
  • Verifique a primitiva derivando; isso costuma salvar em prova.

Resposta

4\sqrt{3-\cos x}+C

Exercícios relacionados