Obtenha as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações imediatas:
- A variável de integração é
. - No integrando aparece a raiz
, ou seja, há uma expressão composta (uma função dentro de outra). - Não foi dado domínio, mas vale notar que
, então — a expressão dentro da raiz é sempre positiva, não há problema com a raiz.
Passo 2
Idéia do método (explicação didática): quando a integranda tem uma função composta como
e o numerador envolve a derivada (ou quase a derivada) da parte interna, é natural tentar uma substituição do tipo
(parte interna). Isso simplifica a integral transformando-a em uma integral em
, muitas vezes com potências simples.
Vou, portanto, escolher a substituição
Aqui
é a nova variável que representa a expressão dentro da raiz. O objetivo é escrever toda a integral em termos de
e
.
Passo 3
Calcular o diferencial
(a “regra da cadeia” aplicada na substituição):
- Derivada de
em relação a é . - Como
, tem-se
Portanto, em diferencial,
Explicação breve: a derivada de
é
; por isso
. Isso é útil porque o numerador da integral original é
.
Passo 4
Fazer a substituição na integral usando
e
:
- Observa-se que
. - E que
.
Substituindo na integral original:
Passo 5
Reescrever a integral em potência para aplicar a regra da potência:
Logo a integral ficou
Passo 6
Integrar usando a regra da potência: para
,
Aqui
, então
Multiplicando pelo fator
que está à frente:
Passo 7
Voltar à variável original
substituindo
. Assim a primitiva em
é
Passo 8
Verificação rápida (diferenciação para checar): diferenciar
.
- Primeiro,
. - Pela regra da cadeia,
- Como
, obtemos
que é exatamente o integrando. Confirmação feita.
Passo 9
Observações finais e dicas para a prova:
- Padrão útil: quando ver
ou e o numerador contiver ou , experimente ou porque a derivada da função trigonométrica aparece no diferencial. - Sempre cheque o sinal ao calcular
(derivada de é , de é ). - Verifique a primitiva derivando; isso costuma salvar em prova.