Obtenha as integrais indefinidas a seguir:
\int \frac{e^{x}}{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral indefinida
\int \Bigl(\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}\Bigr)\,dx.
Vamos usar a propriedade de linearidade das integrais e as regras básicas:
  1. \displaystyle \int e^{x}\,dx = e^{x}.
  2. \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
  3. \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert.

Passo 2

Pela linearidade, separamos em três integrais:
\int \frac{e^{x}}{2}\,dx \;+\; \int \frac{1}{x^{2}}\,dx \;+\; \int \frac{1}{x}\,dx.

Passo 3

Na primeira integral, tiramos a constante \tfrac12 para fora:
\int \frac{e^{x}}{2}\,dx = \tfrac12 \int e^{x}\,dx = \tfrac12\,e^{x}.

Passo 4

A segunda integral é de x^{-2}:
\int \frac{1}{x^{2}}\,dx = \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}.

Passo 5

A terceira integral é direta:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert.

Resposta

\int \Bigl(\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}\Bigr)\,dx = \frac{e^{x}}{2} \;-\; \frac{1}{x} \;+\; \ln\lvert x\rvert \;+\; C.

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