Obtenha as integrais indefinidas a seguir:
\int \sqrt{x}(x+2) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \sqrt{x}\,(x+2)\,dx.
O conteúdo principal é a regra de potências para integração. Vamos usar \sqrt{x}=x^{1/2}, expandir o produto e aplicar
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Escrevendo \sqrt{x}=x^{1/2} e distribuindo em x+2, temos
x^{1/2}(x+2) = x^{1/2}\cdot x + x^{1/2}\cdot 2 = x^{3/2} + 2x^{1/2}.

Passo 3

Agora integramos cada termo separadamente:
\int x^{3/2}\,dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}\,x^{5/2},
\int 2x^{1/2}\,dx = 2\;\frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{4}{3}\,x^{3/2}.

Passo 4

Somando os resultados, a integral fica
\int \sqrt{x}\,(x+2)\,dx = \frac{2}{5}\,x^{5/2} + \frac{4}{3}\,x^{3/2} + C.

Resposta

\frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{4}{3}x^{3/2} + C

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