Obtenha as integrais indefinidas a seguir:
\int \frac{y^{4}+2 y^{2}-1}{y^{2}} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{y^{4} + 2y^{2} - 1}{y^{2}}\,dy.
O conteúdo envolvido é simplificação de fração algébrica e integração termo a termo de potências de y.

Passo 2

Vamos simplificar o integrando dividindo cada termo por y^{2}:
\frac{y^{4} + 2y^{2} - 1}{y^{2}} = \frac{y^{4}}{y^{2}} + \frac{2y^{2}}{y^{2}} - \frac{1}{y^{2}} = y^{2} + 2 - y^{-2}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo usando \int y^{n}dy = \tfrac{y^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1) e \int y^{-2}dy = -y^{-1}:
\int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3}, \quad \int 2\,dy = 2y, \quad \int\bigl(-y^{-2}\bigr)dy = -\bigl(-y^{-1}\bigr) = y^{-1}.
Somando tudo e acrescentando a constante C, obtemos
\frac{y^{3}}{3} + 2y + \frac{1}{y} + C.

Resposta

\int \frac{y^{4} + 2y^{2} - 1}{y^{2}}\,dy = \frac{y^{3}}{3} + 2y + \frac{1}{y} + C.

Exercícios relacionados