Obtenha as integrais indefinidas a seguir:
\int\left(\frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{\sqrt{x}}-1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\left(\frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{\sqrt{x}}-1\right)\,dx.
As informações relevantes que temos:
  • A integral é indefinida (procura-se uma primitiva).
  • O integrando é soma de três termos: \dfrac{1}{x^{4}}, \dfrac{1}{\sqrt{x}} e -1.
  • Observação sobre domínio: \dfrac{1}{\sqrt{x}} exige x>0 se quisermos valores reais. Então vamos trabalhar em x>0 (as outras parcelas são definidas para x\neq0, mas a presença da raiz força x>0).

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever cada termo como potência de x. Isso facilita aplicar a regra básica de potências.
  • \dfrac{1}{x^{4}} = x^{-4}.
  • \dfrac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}.
  • -1 = -x^{0} (útil para ver que é uma potência com expoente 0).
Portanto o integrando fica \,x^{-4}+x^{-1/2}-x^{0}\,.

Passo 3

Vamos lembrar a regra de integração para potências. Para uma função x^{n} com n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde:
  • n é o expoente da potência,
  • x é a variável de integração,
  • C é a constante de integração.
    Obs.: o caso n=-1 é especial e dá \int x^{-1}\,dx=\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C, mas não aparece aqui.
Aplicaremos a regra termo a termo, pois a integral é linear:
\int\bigl(x^{-4}+x^{-1/2}-x^{0}\bigr)\,dx = \int x^{-4}\,dx + \int x^{-1/2}\,dx - \int x^{0}\,dx.

Passo 4

Calcular cada integral separadamente usando a fórmula acima.
  1. Para x^{-4}: aqui n=-4, então n+1=-3. Assim
\int x^{-4}\,dx = \frac{x^{-3}}{-3} = -\frac{1}{3}x^{-3}.
Em forma com potências negativas ou fracionárias isso está correto; também se preferir: -\dfrac{1}{3x^{3}}.
  1. Para x^{-1/2}: aqui n=-\tfrac{1}{2}, então n+1=\tfrac{1}{2}. Assim
\int x^{-1/2}\,dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{1/2} = 2\sqrt{x}.
  1. Para x^{0}: aqui n=0, então n+1=1. Assim
\int x^{0}\,dx = \frac{x^{1}}{1} = x.
Como o termo no integrando é -x^{0}, contribuírá -x.
Somando os três resultados e colocando a constante de integração C:
-\frac{1}{3}x^{-3} + 2x^{1/2} - x + C.

Passo 5

Escrever a primitiva em forma mais usual (sem potências negativas quando conveniente):
-\frac{1}{3x^{3}} + 2\sqrt{x} - x + C.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando a primitiva obtida deve voltar o integrando.
  • \dfrac{d}{dx}\!\left(-\dfrac{1}{3}x^{-3}\right)=x^{-4}.
  • \dfrac{d}{dx}\!(2x^{1/2})=2\cdot\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=x^{-1/2}.
  • \dfrac{d}{dx}(-x)=-1.
    Somando dá exatamente x^{-4}+x^{-1/2}-1, portanto a primitiva está correta. Força aí — você conseguiu!

Resposta

-\dfrac{1}{3x^{3}}+2\sqrt{x}-x+C

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