Obtenha as integrais indefinidas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
As informações relevantes que temos:
- A integral é indefinida (procura-se uma primitiva).
- O integrando é soma de três termos:
, e . - Observação sobre domínio:
exige se quisermos valores reais. Então vamos trabalhar em (as outras parcelas são definidas para , mas a presença da raiz força ).
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever cada termo como potência de
. Isso facilita aplicar a regra básica de potências.
-
. -
. -
(útil para ver que é uma potência com expoente ).
Portanto o integrando fica
.
Passo 3
Vamos lembrar a regra de integração para potências. Para uma função
com
,
onde:
-
é o expoente da potência, -
é a variável de integração, -
é a constante de integração.
Obs.: o casoé especial e dá , mas não aparece aqui.
Aplicaremos a regra termo a termo, pois a integral é linear:
Passo 4
Calcular cada integral separadamente usando a fórmula acima.
- Para
: aqui , então . Assim
Em forma com potências negativas ou fracionárias isso está correto; também se preferir:
.
- Para
: aqui , então . Assim
- Para
: aqui , então . Assim
Como o termo no integrando é
, contribuírá
.
Somando os três resultados e colocando a constante de integração
:
Passo 5
Escrever a primitiva em forma mais usual (sem potências negativas quando conveniente):
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando a primitiva obtida deve voltar o integrando.
-
. -
. -
.
Somando dá exatamente, portanto a primitiva está correta. Força aí — você conseguiu!