Encontre a diferencial du sendo:
u=x^{3}
u=x^{3}
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a diferencial
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
é . - Há uma figura ilustrativa (um gráfico de
) mostrando incremental igual a e a diferença entre e (a figura é apenas ilustrativa do conceito de diferencial).
Passo 2
O que é a diferencial
? Vou explicar de um jeito simples e direto:
- A diferencial
é a aproximação linear do incremento quando o incremento em é muito pequeno. Em fórmulas, definimos a diferencial por
onde
é a derivada de
em relação a
e
é um incremento pequeno (variável independente).
- Em palavras:
é o quanto a reta tangente à curva em muda verticalmente quando a abscissa muda de para .
Passo 3
Para obter
precisamos primeiro achar
, a derivada de
. Vou usar a definição de derivada pelo quociente incremental:
Aqui
é um incremento finito e depois fazemos
.
Passo 4
Calcule
usando a expressão
. Expandindo por binômio:
Agora o incremento
é
Cancelando
obtemos
Passo 5
Forme o quociente incremental e tire o limite quando
:
Agora tomamos o limite:
Portanto a derivada de
em relação a
é
.
Passo 6
Voltando à definição de diferencial, substituímos
em
. Assim:
Essa é a fórmula final da diferencial. Significado prático: para um pequeno incremento
em
, o incremento aproximado em
é
, e temos a aproximação
Passo 7
Um exemplo numérico rápido para fixar (só para praticar): se
e
, então
Isto quer dizer que
.
Passo 8
Dicas rápidas para a prova:
- Sempre que pedirem a diferencial de uma função
, calcule primeiro e depois faça . - Para potências use a regra que vimos:
; no caso dá . Se tiver tempo, saber a prova pelo limite (como fiz aqui) ajuda a justificar a fórmula. - Respira fundo, faz devagar e confia.