Encontre a diferencial du sendo:
u=x^{3}

Passo 1

O enunciado dá a função u=x^{3} e pede para encontrar a diferencial du.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de u é u=x^{3}.
  • Há uma figura ilustrativa (um gráfico de y=f(x)) mostrando incremental \Delta x igual a dx e a diferença entre \Delta y e dy (a figura é apenas ilustrativa do conceito de diferencial).

Passo 2

O que é a diferencial du? Vou explicar de um jeito simples e direto:
  • A diferencial du é a aproximação linear do incremento \Delta u quando o incremento em x é muito pequeno. Em fórmulas, definimos a diferencial por
du = u'(x)\,dx,
onde u'(x) é a derivada de u em relação a x e dx é um incremento pequeno (variável independente).
  • Em palavras: du é o quanto a reta tangente à curva em x muda verticalmente quando a abscissa muda de x para x+dx.

Passo 3

Para obter du precisamos primeiro achar u'(x), a derivada de u. Vou usar a definição de derivada pelo quociente incremental:
u'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}.
Aqui \Delta x é um incremento finito e depois fazemos \Delta x\to 0.

Passo 4

Calcule u(x+\Delta x) usando a expressão u=x^{3}. Expandindo por binômio:
u(x+\Delta x)=(x+\Delta x)^{3}=x^{3}+3x^{2}\Delta x+3x(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{3}.
Agora o incremento \Delta u é
\Delta u = u(x+\Delta x)-u(x)=\bigl(x^{3}+3x^{2}\Delta x+3x(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{3}\bigr)-x^{3}.
Cancelando x^{3} obtemos
\Delta u = 3x^{2}\Delta x+3x(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{3}.

Passo 5

Forme o quociente incremental e tire o limite quando \Delta x\to 0:
\frac{\Delta u}{\Delta x}=\frac{3x^{2}\Delta x+3x(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{3}}{\Delta x}=3x^{2}+3x\Delta x+(\Delta x)^{2}.
Agora tomamos o limite:
u'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\left(3x^{2}+3x\Delta x+(\Delta x)^{2}\right)=3x^{2}.
Portanto a derivada de u em relação a x é u'(x)=3x^{2}.

Passo 6

Voltando à definição de diferencial, substituímos u'(x) em du=u'(x)\,dx. Assim:
du=3x^{2}\,dx.
Essa é a fórmula final da diferencial. Significado prático: para um pequeno incremento dx em x, o incremento aproximado em u é du=3x^{2}dx, e temos a aproximação
u(x+dx)\approx u(x)+du = x^{3}+3x^{2}dx.

Passo 7

Um exemplo numérico rápido para fixar (só para praticar): se x=2 e dx=0,01, então
du=3\cdot 2^{2}\cdot 0,01 = 3\cdot 4\cdot 0,01 = 0,12.
Isto quer dizer que u(2+0,01)\approx u(2)+0,12.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova:
  • Sempre que pedirem a diferencial de uma função u(x), calcule primeiro u'(x) e depois faça du=u'(x)\,dx.
  • Para potências use a regra que vimos: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}; no caso n=3 3x^{2}. Se tiver tempo, saber a prova pelo limite (como fiz aqui) ajuda a justificar a fórmula.
  • Respira fundo, faz devagar e confia.

Resposta

du=3x^{2}\,dx

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