Obtenha as integrais indefinidas a seguir:
\int\left(\frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida \displaystyle \int\biggl(\frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr)\,dx.
O conteúdo que vamos usar é a regra de potência para integrais: \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C (para n\neq -1) e a integral de constante.

Passo 2

Reescrevemos cada termo como potência de x ou constante: \displaystyle \frac{1}{x^{4}}=x^{-4},\quad \frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\tfrac12},\quad \frac{1}{\sqrt{2}} é constante.

Passo 3

Aplicamos a regra de potência em cada parcela:
\int x^{-4}\,dx=\frac{x^{-3}}{-3}=-\frac{1}{3x^{3}},
\int x^{-\tfrac12}\,dx=\frac{x^{\tfrac12}}{\tfrac12}=2x^{\tfrac12}=2\sqrt{x},
\int \Bigl(-\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr)\,dx=-\frac{1}{\sqrt{2}}\;x.

Passo 4

Somando os resultados e adicionando a constante C, obtemos
-\frac{1}{3x^{3}} \;+\;2\sqrt{x}\;-\;\frac{x}{\sqrt{2}}\;+\;C.

Resposta

-\frac{1}{3x^{3}}+2\sqrt{x}-\frac{x}{\sqrt{2}}+C.

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