Obtenha os limites abaixo, utilizando (sempre que possível) a regra de l’Hôpital:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1-\cos 3 x}{x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1-\cos 3x}{x^{2}}\right).
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função no numerador é 1-\cos 3x.
  • O denominador é x^{2}.
  • Quando x \to 0 temos 1-\cos 3x \to 0 (pois \cos 0=1) e x^{2}\to 0.
  • Portanto a expressão tem a forma indeterminada 0/0, o que nos permite pensar em aplicar a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Lembrete (aula rápida sobre a regra de l’Hôpital):
  • A regra de l’Hôpital diz que, se temos \lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} com forma indeterminada \dfrac{0}{0} ou \dfrac{\infty}{\infty}, e se f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) e g'(x)\neq 0 perto de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite do lado direito exista (ou seja \pm\infty).
  • Vamos aplicar essa regra porque já identificamos a indeterminação 0/0.

Passo 3

Aplicando l’Hôpital pela primeira vez:
  • Definimos f(x)=1-\cos 3x e g(x)=x^{2}.
  • Calculamos as derivadas (explicando a técnica usada):
    • Para f'(x): usamos a regra da cadeia. A derivada de \cos u em relação a x é -\sin u\cdot u'. Aqui u=3x e u'=3. Assim f'(x)= -(-\sin 3x)\cdot 3 = 3\sin 3x.(Outra maneira de ver: derivada de 1 é 0, derivada de -\cos 3x é -(-\sin 3x)\cdot 3.)
    • Para g'(x): derivada de x^{2} é 2x.
  • Pela regra de l’Hôpital,
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos 3x}{x^{2}}=\lim_{x\to 0}\frac{3\sin 3x}{2x}.

Passo 4

Avaliação do novo limite:
  • Escrevemos a expressão de uma forma que use um limite padrão. Observe
\frac{3\sin 3x}{2x}=\frac{3}{2}\cdot\frac{\sin 3x}{x}.
  • Uma identidade útil é \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1. Aplicando isso com t=3x (quando x\to 0, também t\to 0) podemos proceder de dois jeitos:
    1. Usar a regra direta \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1. Então \lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{3\sin 3x}{3x}=3\cdot 1=3,e assim \lim_{x\to 0}\frac{3\sin 3x}{2x}=\frac{3}{2}\cdot 3=\frac{9}{2}.
    2. (Se preferir ver usando l’Hôpital de novo) Considere \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 3x}{x}, que é 0/0. Aplicando l’Hôpital:
      • derivada do numerador \sin 3x é 3\cos 3x,
      • derivada do denominador x é 1,
      • logo \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 3x}{x}=\lim_{x\to 0}3\cos 3x=3\cos 0=3.
        Multiplicando por \tfrac{3}{2} obtém-se novamente \tfrac{9}{2}.
  • Portanto o limite vale \tfrac{9}{2}.

Passo 5

Verificação alternativa (curtinha, para firmar a intuição):
  • Expansão em série (ou aproximação) para \cos y quando y pequeno: \cos y \approx 1-\dfrac{y^{2}}{2}.
  • Tomando y=3x obtemos 1-\cos 3x \approx \dfrac{(3x)^{2}}{2}=\dfrac{9}{2}x^{2}.
  • Assim \dfrac{1-\cos 3x}{x^{2}}\approx \dfrac{9}{2}, confirmando o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{9}{2}

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