Obtenha os limites abaixo, utilizando (sempre que possível) a regra de l’Hôpital:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A função no numerador é
. - O denominador é
. - Quando
temos (pois ) e . - Portanto a expressão tem a forma indeterminada
, o que nos permite pensar em aplicar a regra de l’Hôpital.
Passo 2
Lembrete (aula rápida sobre a regra de l’Hôpital):
- A regra de l’Hôpital diz que, se temos
com forma indeterminada ou , e se e são diferenciáveis numa vizinhança de (exceto possivelmente em ) e perto de , então
desde que o limite do lado direito exista (ou seja
).
- Vamos aplicar essa regra porque já identificamos a indeterminação
.
Passo 3
Aplicando l’Hôpital pela primeira vez:
- Definimos
e . - Calculamos as derivadas (explicando a técnica usada):
- Para
: usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é . Aqui e . Assim (Outra maneira de ver: derivada de é , derivada de é .) - Para
: derivada de é .
- Para
- Pela regra de l’Hôpital,
Passo 4
Avaliação do novo limite:
- Escrevemos a expressão de uma forma que use um limite padrão. Observe
- Uma identidade útil é
. Aplicando isso com (quando , também ) podemos proceder de dois jeitos: - Usar a regra direta
. Então e assim - (Se preferir ver usando l’Hôpital de novo) Considere
, que é . Aplicando l’Hôpital: - derivada do numerador
é , - derivada do denominador
é , - logo
.
Multiplicando porobtém-se novamente .
- derivada do numerador
- Usar a regra direta
- Portanto o limite vale
.
Passo 5
Verificação alternativa (curtinha, para firmar a intuição):
- Expansão em série (ou aproximação) para
quando pequeno: . - Tomando
obtemos . - Assim
, confirmando o resultado anterior.