Obtenha os limites abaixo, utilizando (sempre que possível) a regra de l’Hôpital:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^{x}}.
Informações dadas: o numerador é \,x e o denominador é \,e^{x}. Estamos fazendo x tender para +\infty. A pergunta é: qual o valor desse quociente quando x cresce sem limite?

Passo 2

Primeiro vamos identificar a forma indeterminada. Quando x\to+\infty temos \,x\to+\infty e \,e^{x}\to+\infty. Logo a expressão tem a forma \dfrac{+\infty}{+\infty}, que é uma forma indeterminada onde a regra de l’Hôpital pode ser aplicada (desde que as funções sejam diferenciáveis e o limite das derivadas exista ou seja infinito).
Breve explicação da regra de l’Hôpital (versão prática que usaremos):
Se \,f(x) e \,g(x) são diferenciáveis numa vizinhança (à direita) de +\infty e \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}g(x)=\pm\infty ou 0, e se existir o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}
(então finito ou \pm\infty), vale
\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Em palavras: podemos substituir a razão original pela razão das derivadas para resolver certas indeterminações do tipo \tfrac{\infty}{\infty} ou \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Aplicando a regra de l’Hôpital ao caso \dfrac{x}{e^{x}}:
  • Derivada do numerador \,f(x)=x é \,f'(x)=1.
  • Derivada do denominador \,g(x)=e^{x} é \,g'(x)=e^{x}.
Pelo enunciado da regra,
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{e^{x}}.

Passo 4

Agora avaliamos o limite da direita. Quando x\to+\infty, temos e^{x}\to+\infty. Uma fração com numerador fixo não-nulo e denominador que tende a +\infty tende a 0. Assim,
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{e^{x}}=0.
Comentário intuitivo adicional (útil na prova): a função exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio. Para um polinômio de grau n (por exemplo x é grau 1), aplicando l’Hôpital repetidas vezes (até derivar o polinômio a zero) obtém-se sempre uma potência de e^{x} no denominador que manda a fração para 0. Isso justifica a ideia geral de que \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{n}}{e^{x}}=0 para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

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