Obtenha os limites abaixo, utilizando (sempre que possível) a regra de l’Hôpital:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas: o numerador é
e o denominador é
. Estamos fazendo
tender para
. A pergunta é: qual o valor desse quociente quando
cresce sem limite?
Passo 2
Primeiro vamos identificar a forma indeterminada. Quando
temos
e
. Logo a expressão tem a forma
, que é uma forma indeterminada onde a regra de l’Hôpital pode ser aplicada (desde que as funções sejam diferenciáveis e o limite das derivadas exista ou seja infinito).
Breve explicação da regra de l’Hôpital (versão prática que usaremos):
Se e
são diferenciáveis numa vizinhança (à direita) de
e
ou
, e se existir o limite
Se
(então finito ou
), vale
Em palavras: podemos substituir a razão original pela razão das derivadas para resolver certas indeterminações do tipo
ou
.
Passo 3
Aplicando a regra de l’Hôpital ao caso
:
- Derivada do numerador
é . - Derivada do denominador
é .
Pelo enunciado da regra,
Passo 4
Agora avaliamos o limite da direita. Quando
, temos
. Uma fração com numerador fixo não-nulo e denominador que tende a
tende a
. Assim,
Comentário intuitivo adicional (útil na prova): a função exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio. Para um polinômio de grau
(por exemplo
é grau
), aplicando l’Hôpital repetidas vezes (até derivar o polinômio a zero) obtém-se sempre uma potência de
no denominador que manda a fração para
. Isso justifica a ideia geral de que
para todo
.
Resposta
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