Obtenha o maior subconjunto do R^2 ou R^3, no qual a função f(x, y, z) = raiz(2 - x^2 - y^2 - z^2) é contínua

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o maior subconjunto de ou onde a função é contínua. Isso envolve entender sobre continuidade de funções e domínios onde a função está bem definida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se não houver “saltos” ou “quebras” naquele ponto. No caso da função , ela envolve uma raiz quadrada. A raiz quadrada só está definida para números maiores ou iguais a zero, porque não dá para tirar raiz de um número negativo e obter um número real.

Passo 3

Então, para que seja bem definida e contínua, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero. Ou seja:
Essa é a condição que precisamos satisfazer para encontrar o domínio onde a função é contínua.

Passo 4

Agora, vamos reorganizar essa inequação:
Isso representa todos os pontos que estão dentro ou sobre a superfície de uma esfera de raio centrada na origem (0,0,0) no espaço .

Passo 5

Portanto, o maior subconjunto de onde é contínua é o conjunto de todos os pontos que satisfazem . Isso inclui a superfície da esfera e todo o interior dela.

Resposta

O maior subconjunto de onde a função é contínua é o conjunto , ou seja, a esfera de raio centrada na origem.

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