3 Obtenha o potencial vetor A e o campo magnético B para um dipolo magnético m colocado na origem do sistema de coordenadas e representado pela magnetização:
M=m de
sendo de a função delta de Dirac. Expresse suas respostas em coordenadas esféricas. Você deverá encontrar para B o seguinte resultado:
B=mu0 m4 pi r^3(2 cos theta ar+sin theta atheta)

Passo 1

O enunciado pede o potencial vetor A e o campo magnético B de um dipolo magnético m pontual na origem, representado por M=m,de. Vamos usar magnetostática: a gente vai calcular as correntes ligadas, depois A por integral de Biot–Savart (versão vetorial), e enfim B=nablatimesA em coordenadas esféricas.

Passo 2

A magnetização pontual gera apenas corrente volumétrica ligada definida por Jb=nablatimesM. Não há corrente de superfície porque M está concentrada num ponto.
Calculando a derivada vetorial, usamos nabla times (m,de.

Passo 3

O potencial vetor geral é dado por
A(r)=mu04piintegral Jb(r')|r-r'|d^3r'
Substituindo Jb e integrando por partes, transfere-se a derivada para 1/|r-r'|, resultando em
A(r)=mu04pi,mtimes nabla1r,
onde r=|r|.
Como nabla (1/r)=-r/r^3, temos
A(r)=mu04pimtimes rr^3

Passo 4

Em coordenadas esféricas e tomando m=m,z, o produto vetorial mtimes r vale m rsintheta,phi. Logo os componentes de A são
Ar=0, Atheta=0, Aphi=mu0 m4pi r^2sintheta

Passo 5

Para o campo magnético aplicamos B=nablatimesA em esféricas (usando só Aphi), chegando em
B=mu0 m4pi r^3l(2costheta,r+sintheta,thetar),
que coincide com o resultado esperado.

Resposta

A=mu0 m4pi r^2sintheta,phi
B=mu0 m4pi r^3l(2costheta,r+sintheta,thetar)

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