3 Obtenha o potencial vetor A e o campo magnético
para um dipolo magnético m colocado na origem do sistema de coordenadas e representado pela magnetização:
sendo
a função delta de Dirac. Expresse suas respostas em coordenadas esféricas. Você deverá encontrar para B o seguinte resultado:
Passo 1
O enunciado pede o potencial vetor
e o campo magnético
de um dipolo magnético
pontual na origem, representado por
. Vamos usar magnetostática: a gente vai calcular as correntes ligadas, depois
por integral de Biot–Savart (versão vetorial), e enfim
em coordenadas esféricas.
Passo 2
A magnetização pontual gera apenas corrente volumétrica ligada definida por
. Não há corrente de superfície porque
está concentrada num ponto.
Calculando a derivada vetorial, usamos .
Calculando a derivada vetorial, usamos
Passo 3
O potencial vetor geral é dado por
Substituindo
onde
.
Como , temos
Como
Passo 4
Em coordenadas esféricas e tomando
, o produto vetorial
vale
. Logo os componentes de
são
Passo 5
Para o campo magnético aplicamos
em esféricas (usando só
), chegando em
que coincide com o resultado esperado.