2 Obtenha a equação de movimento para um dipolo magnético clássico m na presença de um campo magnético B=B0 z e encontre a solução para m(t) com a condição inicial m(0)=m x.

Passo 1

Neste exercício a gente quer achar a equação de movimento de um dipolo magnético clássico m num campo constante B=B0z e depois resolver para m(t) dado que m(0)=mx. O conteúdo principal é torque magnético e precessão de Larmor: vamos usar que o torque é tau=mtimesB e que m=gammaL, levando à equação de precessão.

Passo 2

Para obter a equação de movimento, lembramos que o torque altera o momento angular L via dL/dt=tau=mtimesB. Como m=gammaL, diferenciando obtemos
dmdt=gamma,dLdt=gamma,l(mtimesBr)

Passo 3

Agora escolhemos B=B0z e escrevemos as componentes:
dmxdt=gamma B0,my, dmydt=-gamma B0,mx, dmzdt=0

Passo 4

Da última equação vemos que mz é constante; do sistema em x,y podemos derivar em t novamente para achar uma equação de segunda ordem em mx:
d^2mxdt^2=gamma B0dmydt=-l(gamma B0r)^2mx,
no que é uma oscilação harmônica com frequência omega=gamma B0.

Passo 5

A solução geral é
mx(t)=Acos(gamma B0t)+Bsin(gamma B0t),
my(t)=-Asin(gamma B0t)+Bcos(gamma B0t),
e mz(t)=constante. Agora impondo as condições iniciais mx(0)=m, my(0)=0 e mz(0)=0, vemos que A=m e B=0. Assim
no final o vetor precessa no plano xy com aumento de fase:
finalizamos a solução vetorial.

Resposta

m(t)=mcosl(gamma B0tr),x;-;msinl(gamma B0tr),y(e;mz=0)

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