Obtenha uma representação da forma g(x, y) ou g(x, y, z), encontrando as curvas paramétricas (curvas u=c t e e v=c t e) das superfícies e vetores N=ru times rv normais a elas.
Elipsóide r(u, v)=[a cos v cos u, b cos v sen u, c sen v]

Passo 1

O enunciado pede para obter a forma implícita g(x,y) ou g(x,y,z) de um elipsóide dado por
vec r(u,v) = [acos vcos u,;bcos vsin u,;csin v],
além de apresentar as curvas paramétricas para u=cte e v=cte e calcular o vetor normal vec N=vec rutimesvec rv. Vamos usar conceitos de mudança de parametrização para equação implícita, derivadas parciais para as curvas e produto vetorial para o normal.

Passo 2

Para achar a forma implícita, note que das definições paramétricas temos
x = acos vcos u, y = bcos vsin u, z = csin v
Elevando ao quadrado e normalizando:
x^2a^2 + y^2b^2 = cos^2 v(cos^2 u + sin^2 u) = cos^2 v,
e
z^2c^2 = sin^2 v
Somando:
x^2a^2 + y^2b^2 + z^2c^2 = cos^2 v + sin^2 v = 1
Logo a equação implícita é
g(x,y,z)=x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2-1=0

Passo 3

As curvas paramétricas são obtidas fixando uma das variáveis:
  • Para u=u0 constante e v livre:
vec r(u0,v) = [acos vcos u0,;bcos vsin u0,;csin v]
- Para v=v0 constante e u livre:
vec r(u,v0) = [acos v0cos u,;bcos v0sin u,;csin v0]

Passo 4

Para calcular o vetor normal precisamos das derivadas parciais:
vec ru = partial vec rpartial u = [-acos vsin u,;bcos vcos u,;0],
vec rv = partial vec rpartial v = [-asin vcos u,;-bsin vsin u,;ccos v]

Passo 5

O vetor normal é o produto vetorial
vec N = vec ru times vec rv
Calculando componente a componente (usando determinante 3×3), obtemos
$$
\vec N = [b c\cos^2 v\cos u,;a c\cos^2 v\sin u,;a b\cos v\sin v].
$$

Passo 6

Este vec N é normal à superfície em cada ponto (u,v).

Resposta

A representação implícita do elipsóide é
g(x,y,z)=x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2-1=0
As curvas paramétricas são:
vec r(u0,v)=[acos vcos u0,;bcos vsin u0,;csin v],
vec r(u,v0)=[acos v0cos u,;bcos v0sin u,;csin v0]
O vetor normal é
vec N=vec rutimesvec rv=[b ccos^2 vcos u,;a ccos^2 vsin u,;a bcos vsin v]

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