Obtenha uma representação da forma
ou
, encontrando as curvas paramétricas (curvas
das superfícies e vetores
normais a elas.
Elipsóide
Elipsóide
Passo 1
O enunciado pede para obter a forma implícita
ou
de um elipsóide dado por
além de apresentar as curvas paramétricas para
Passo 2
Para achar a forma implícita, note que das definições paramétricas temos
Elevando ao quadrado e normalizando:
e
Somando:
Logo a equação implícita é
Passo 3
As curvas paramétricas são obtidas fixando uma das variáveis:
- Para
constante e livre:
- Para
Passo 4
Para calcular o vetor normal precisamos das derivadas parciais:
Passo 5
O vetor normal é o produto vetorial
Calculando componente a componente (usando determinante 3×3), obtemos
$$
\vec N = [b c\cos^2 v\cos u,;a c\cos^2 v\sin u,;a b\cos v\sin v].
$$
Passo 6
Este
é normal à superfície em cada ponto
.
Resposta
A representação implícita do elipsóide é
As curvas paramétricas são:
O vetor normal é