Diga se as séries indicadas convergem ou não, justificando sua resposta:
sn=sum (n+1)!(n+3)!

Passo 1

Começamos resumindo o enunciado: precisamos decidir se a série sumn=0^infty (n+1)!(n+3)! converge. O tema é convergência de séries numéricas e vamos usar propriedades de fatoriais e séries telescópicas.

Passo 2

Em seguida, simplificamos o termo geral usando propriedades de fatorial: (n+1)!(n+3)! = (n+1)!(n+3)(n+2)(n+1)! = 1(n+2)(n+3).

Passo 3

Observamos que 1(n+2)(n+3) pode ser escrito como série telescópica: 1(n+2)(n+3) = 1n+2 - 1n+3. Assim, a soma parcial até N fica:
SN = sumn=0^N l(1n+2 - 1n+3r) = 12 - 1N+3

Passo 4

Ao tomar o limite N to infty, o termo 1N+3 tende a zero, de modo que SN tende a 12. Isso mostra que a série converge para 12.

Resposta

A série converge e sua soma vale 12.

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