Obtenha uma representação da forma g(x, y) ou g(x, y, z), encontrando as curvas paramétricas (curvas u=c t e e v=c t e) das superfícies e vetores N=ru times rv normais a elas.
Parabolóide de revolução

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície parametrizada por vec r(u,v)=[ucos v,;usin v,;u^2]. O objetivo é: (1) reescrever essa superfície na forma explícita z=g(x,y), (2) encontrar as curvas de parâmetro u=cte e v=cte nessa superfície, e (3) calcular o vetor normal vec N=vec rutimesvec rv.

Passo 2

Começamos isolando u e v em termos de x,y,z: como x=ucos v e y=usin v, temos u=raizx^2+y^2. E pela terceira componente z=u^2, logo
z=(raizx^2+y^2)^2 = x^2 + y^2

Passo 3

Para as curvas u= a (constante) temos, variando v:
vec r(a,v) = (acos v,;asin v,;a^2), que são círculos de raio a no plano z=a^2. Para v=b (constante) e variando u:
vec r(u,b) = (ucos b,;usin b,;u^2), que são parábolas no plano que faz ângulo b com o eixo x.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas parciais:
vec ru = (cos v,;sin v,;2u),
vec rv = (-usin v,;ucos v,;0)

Passo 5

O vetor normal é o produto vetorial:
vec N = vec ru times vec rv = (-2u^2cos v,;-2u^2sin v,;u)

Resposta

A superfície é dada por z = x² + y². As curvas u = a são vec r(a,v)=(acos v,,asin v,,a^2) e as curvas v = b são vec r(u,b)=(ucos b,,usin b,,u^2). O vetor normal é vec N = (-2u^2cos v, -2u^2sin v, u).

Exercícios relacionados