Obtenha a resposta y(t) do seguinte sistema representado em espaço de estados para uma entrada do tipo degrau unitário, considerando condições iniciais nulas.
\dot{\mathbf{x}}(t)=\left[\begin{array}{cc} -1 & -0,5 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right] \mathbf{x}(t)+\left[\begin{array}{c} 0,5 \\\\ 0 \end{array}\right] u(t) ; \quad y(t)=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \end{array}\right] \mathbf{x}(t)

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema em espaço de estados com
\dot{\mathbf{x}}(t)=A\,\mathbf{x}(t)+B\,u(t), \mathbf{x}(0)=\mathbf{0} e
y(t)=C\,\mathbf{x}(t), onde
A = \begin{pmatrix}-1 & -0,5\\[6pt]1 & 0\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}0,5\\[3pt]0\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix},
e a entrada é um degrau unitário u(t)=1 para t\ge0.
Queremos encontrar y(t). Para isso vamos usar a transformada de Laplace e função de transferência.]

Passo 2

A função de transferência G(s) do sistema é
G(s)=C\,(sI - A)^{-1}B.
Calculamos primeiro
sI - A = \begin{pmatrix}s+1 & 0,5\\[3pt]-1 & s\end{pmatrix}
e seu determinante
\det(sI - A) = (s+1)\,s - (-1)\cdot(0,5) = s^2 + s + 0,5.
O adjunto é
\operatorname{adj}(sI - A) = \begin{pmatrix}s & -0,5\\[3pt]1 & s+1\end{pmatrix}.
Multiplicando pela matriz B obtemos
\operatorname{adj}(sI - A)\,B = \begin{pmatrix}s & -0,5\\[3pt]1 & s+1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0,5\\[3pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,5\,s\\[3pt]0,5\end{pmatrix}.
Logo
G(s) = C\,(sI - A)^{-1}B = \frac{0,5\,s}{s^2 + s + 0,5}.]

Passo 3

Como a entrada é degrau unitário, sua transformada é U(s)=1/s.
Então
Y(s) = G(s)\,U(s) = \frac{0,5\,s}{s^2 + s + 0,5}\,\frac{1}{s} = \frac{0,5}{s^2 + s + 0,5}.

Passo 4

Reescrevemos o denominador completando o quadrado:
s^2 + s + 0,5 = (s + 0,5)^2 + (0,5)^2.
Assim
Y(s) = \frac{0,5}{(s + 0,5)^2 + (0,5)^2}.

Passo 5

Para inverter a Laplace usamos a forma conhecida
\mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{\omega}{(s + a)^2 + \omega^2}\biggr\} = e^{-a t}\,\sin(\omega t).
Aqui a=0,5 e \omega=0,5, e nosso numerador é 0,5=\omega. Logo
y(t) = e^{-0,5\,t}\,\sin\bigl(0,5\,t\bigr) \quad(t\ge0).

Resposta

y(t) = e^{-0,5\,t}\,\sin\bigl(0,5\,t\bigr).

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