Seja A=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -2 & -3\end{array}\right], obtenha a exponencial matricial de A, i.e., e^{A t}=\mathscr{L}^{-1}\left\{(s I-A)^{-1}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a exponencial matricial de
A = \begin{pmatrix}0 & 1\\[6pt]-2 & -3\end{pmatrix}
usando a fórmula
e^{At} \;=\;\mathscr{L}^{-1}\bigl\{(sI - A)^{-1}\bigr\}.
Para isso precisamos (a) montar sI - A, (b) inverter essa matriz em função de s, (c) decompor cada entrada em frações parciais e (d) aplicar a transformada inversa de Laplace.]

Passo 2

Montamos
sI - A = \begin{pmatrix}s & 0\\[3pt]0 & s\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]-2 & -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}s & -1\\[3pt]2 & s+3\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(sI - A) = s\,(s+3) + 2 = s^2 + 3s + 2 = (s+1)(s+2).
Logo
(sI - A)^{-1} = \frac{1}{(s+1)(s+2)} \begin{pmatrix}s+3 & 1\\[3pt]-2 & s\end{pmatrix}.]

Passo 3

Denotamos cada entrada de (sI-A)^{-1} por
M(s)=\begin{pmatrix} m_{11}(s) & m_{12}(s)\\[4pt] m_{21}(s) & m_{22}(s) \end{pmatrix} = \frac{1}{(s+1)(s+2)} \begin{pmatrix} s+3 & 1\\[3pt] -2 & s \end{pmatrix}.
Precisamos inverter a Laplace de cada m_{ij}(s).]

Passo 4

Fazemos decomposição em frações parciais e invertendo:
  1. m_{11}(s)=\dfrac{s+3}{(s+1)(s+2)}.
    Escrevemos
    \frac{s+3}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2},
    com A+B=1 e 2A+B=3, daí A=2, B=-1.
    Logo
    \mathscr{L}^{-1}\{m_{11}(s)\} = 2e^{-t} - e^{-2t}.
  2. m_{12}(s)=\dfrac{1}{(s+1)(s+2)}.
    \frac{1}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2},
    com A+B=0 e 2A+B=1, daí A=1, B=-1.
    \mathscr{L}^{-1}\{m_{12}(s)\} = e^{-t} - e^{-2t}.
  3. m_{21}(s)=-\dfrac{2}{(s+1)(s+2)}. É -2 vezes o caso anterior, então
    \mathscr{L}^{-1}\{m_{21}(s)\} = -2\bigl(e^{-t}-e^{-2t}\bigr) = -2e^{-t}+2e^{-2t}.
  4. m_{22}(s)=\dfrac{s}{(s+1)(s+2)}.
    \frac{s}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2},
    com A+B=1 e 2A+B=0, daí A=-1, B=2.
    \mathscr{L}^{-1}\{m_{22}(s)\} = -e^{-t} +2e^{-2t}.

Passo 5

Reunindo todas as entradas, obtemos
e^{At} =\begin{pmatrix} 2e^{-t}-e^{-2t} & e^{-t}-e^{-2t}\\[6pt] -2e^{-t}+2e^{-2t} & -e^{-t}+2e^{-2t} \end{pmatrix}.]

Resposta

\boxed{ e^{At} = \begin{pmatrix} 2e^{-t}-e^{-2t} & e^{-t}-e^{-2t}\\[6pt] -2e^{-t}+2e^{-2t} & -e^{-t}+2e^{-2t} \end{pmatrix} }.]

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