Obtenha a solução do sistema de equações usando autovalores e autovetores: \left\{\begin{array}{c}x^{\prime}=x-y \\\ y^{\prime}=2 x+2 y\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para obter a solução do sistema de equações
e os coeficientes das equações são constantes. A tarefa é encontrar a solução geral (x(t),y(t)), usando autovalores e autovetores (isto é, a técnica linear que transforma o sistema em termos de exponenciais).]
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma matricial \mathbf{X}' = A\mathbf{X}, onde
Explicando: A é a matriz que transforma o vetor \mathbf{X} nas derivadas \mathbf{X}'. A solução por autovalores/autovetores passa por achar os autovalores \lambda e os autovetores v de A.]
Passo 3
Para encontrar autovalores calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Aqui I é a matriz identidade 2\times2 e \lambda é um número (potencial autovalor). O determinante dá uma equação em \lambda cuja raiz(s) são os autovalores.
Agora vamos achar um autovetor para \lambda=\alpha+i\beta=\dfrac{3}{2}+i\dfrac{\sqrt7}{2}. Precisamos resolver (A-\lambda I)v=0. Escrevendo a primeira linha:
v = \begin{pmatrix}1\\[2pt]-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt7}{2}\end{pmatrix} = a + i b,
onde separamos em partes real e imaginária:
a = \begin{pmatrix}1\\[2pt]-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix},\qquad b = \begin{pmatrix}0\\[2pt]-\dfrac{\sqrt7}{2}\end{pmatrix}.]
Passo 6
Explicação do passo crucial: quando A tem autovalor complexo \lambda=\alpha+i\beta com autovetor v=a+ib (com a,b reais), então duas soluções reais fundamentais do sistema são
Qual a ideia? A solução complexa associada é e^{\lambda t}v; escrevendo essa exponencial e o vetor em partes real e imaginária e separando, obtemos duas soluções reais linearmente independentes (as combinações reais e imaginárias). Essas duas soluções geram a solução geral real do sistema:
Resumo e comentário final: as constantes C_1,C_2 são reais e determinadas por condições iniciais que você possa ter (por exemplo (x(0),y(0))). A solução obtida é real, e mostra que o sistema tem comportamento oscilatório (senos e cossenos) multiplicado por um fator exponencial e^{\frac{3}{2}t} — como \alpha=\tfrac{3}{2}>0, as oscilações crescem exponencialmente.