Obtenha a solução do sistema de equações usando autovalores e autovetores:
\left\{\begin{array}{c}x^{\prime}=x-y \\\ y^{\prime}=2 x+2 y\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para obter a solução do sistema de equações
\begin{cases} x' = x - y,\\[4pt] y' = 2x + 2y. \end{cases}
Informações dadas que vamos usar:
x(t),\;y(t)\text{ são funções de }t,ãçõ
e os coeficientes das equações são constantes. A tarefa é encontrar a solução geral (x(t),y(t)), usando autovalores e autovetores (isto é, a técnica linear que transforma o sistema em termos de exponenciais).]

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial \mathbf{X}' = A\mathbf{X}, onde
\mathbf{X} = \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}, \qquad A = \begin{pmatrix}1 & -1\\[2pt]2 & 2\end{pmatrix}.
Explicando: A é a matriz que transforma o vetor \mathbf{X} nas derivadas \mathbf{X}'. A solução por autovalores/autovetores passa por achar os autovalores \lambda e os autovetores v de A.]

Passo 3

Para encontrar autovalores calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Aqui I é a matriz identidade 2\times2 e \lambda é um número (potencial autovalor). O determinante dá uma equação em \lambda cuja raiz(s) são os autovalores.

Passo 4

Calculamos o determinante:
\det(A-\lambda I) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & -1\\[2pt]2 & 2-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)(2-\lambda)-(-1)\cdot 2.
Desenvolvendo:
(1-\lambda)(2-\lambda)+2 = (\lambda^2-3\lambda+2)+2 = \lambda^2-3\lambda+4.
Portanto os autovalores satisfazem
\lambda^2-3\lambda+4=0.
Resolvendo a quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
\lambda = \frac{3\pm\sqrt{9-16}}{2} = \frac{3\pm\sqrt{-7}}{2} = \frac{3}{2}\pm i\frac{\sqrt{7}}{2}.
Conclusão: os autovalores são complexos conjugados. Escrevemos
\lambda = \alpha\pm i\beta,\quad\text{onde}\quad \alpha=\frac{3}{2},\\ \beta=\frac{\sqrt{7}}{2}.]

Passo 5

Agora vamos achar um autovetor para \lambda=\alpha+i\beta=\dfrac{3}{2}+i\dfrac{\sqrt7}{2}. Precisamos resolver (A-\lambda I)v=0. Escrevendo a primeira linha:
(1-\lambda)v_1 - v_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad v_2 = (1-\lambda)v_1.
Escolhemos v_1=1 (qualquer escala serve) e então
v_2 = 1-\lambda = 1 - \left(\frac{3}{2}+i\frac{\sqrt7}{2}\right) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt7}{2}.
Logo um autovetor complexo é
v = \begin{pmatrix}1\\[2pt]-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt7}{2}\end{pmatrix} = a + i b,
onde separamos em partes real e imaginária:
a = \begin{pmatrix}1\\[2pt]-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix},\qquad b = \begin{pmatrix}0\\[2pt]-\dfrac{\sqrt7}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Explicação do passo crucial: quando A tem autovalor complexo \lambda=\alpha+i\beta com autovetor v=a+ib (com a,b reais), então duas soluções reais fundamentais do sistema são
\mathbf{X}_1(t)=e^{\alpha t}\big(a\cos(\beta t)-b\sin(\beta t)\big),
\mathbf{X}_2(t)=e^{\alpha t}\big(a\sin(\beta t)+b\cos(\beta t)\big).
Qual a ideia? A solução complexa associada é e^{\lambda t}v; escrevendo essa exponencial e o vetor em partes real e imaginária e separando, obtemos duas soluções reais linearmente independentes (as combinações reais e imaginárias). Essas duas soluções geram a solução geral real do sistema:
\mathbf{X}(t)=C_1\mathbf{X}_1(t)+C_2\mathbf{X}_2(t),
com C_1,C_2 constantes reais arbitrárias.

Passo 7

Aplicamos as fórmulas com \alpha=\dfrac{3}{2}, \beta=\dfrac{\sqrt7}{2}, a e b obtidos no Passo 5.
Primeiro componente ( x) de \mathbf{X}_1,\mathbf{X}_2:
a_1 = 1,\quad b_1 = 0,
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x(t)=e^{\frac{3}{2}t}\big(C_1(\,1\cdot\cos(\tfrac{\sqrt7}{2}t)-0\cdot\sin(\tfrac{\sqrt7}{2}t)\,)+ C_2(\,1\cdot\sin(\tfrac{\sqrt7}{2}t)+0\cdot\cos(\tfrac{\sqrt7}{2}t)\,)\big).
Simplificando:
x(t)=e^{\frac{3}{2}t}\big(C_1\cos(\tfrac{\sqrt7}{2}t)+C_2\sin(\tfrac{\sqrt7}{2}t)\big).
Segunda componente ( y): aqui a_2=-\dfrac{1}{2} e b_2=-\dfrac{\sqrt7}{2}. Então
y(t)=e^{\frac{3}{2}t}\Big(C_1\big(-\tfrac{1}{2}\cos(\tfrac{\sqrt7}{2}t)-(-\tfrac{\sqrt7}{2})\sin(\tfrac{\sqrt7}{2}t)\big) + C_2\big(-\tfrac{1}{2}\sin(\tfrac{\sqrt7}{2}t)+(-\tfrac{\sqrt7}{2})\cos(\tfrac{\sqrt7}{2}t)\big)\Big).
Cuidando dos sinais (note o duplo negativo no termo com b_2):
y(t)=e^{\frac{3}{2}t}\Big(C_1\big(-\tfrac{1}{2}\cos(\tfrac{\sqrt7}{2}t)+\tfrac{\sqrt7}{2}\sin(\tfrac{\sqrt7}{2}t)\big) + C_2\big(-\tfrac{1}{2}\sin(\tfrac{\sqrt7}{2}t)-\tfrac{\sqrt7}{2}\cos(\tfrac{\sqrt7}{2}t)\big)\Big).
Podemos também escrever com fator 1/2 em evidência:
y(t)=\frac{e^{\frac{3}{2}t}}{2}\Big(C_1\big(-\cos(\tfrac{\sqrt7}{2}t)+\sqrt7\sin(\tfrac{\sqrt7}{2}t)\big) + C_2\big(-\sin(\tfrac{\sqrt7}{2}t)-\sqrt7\cos(\tfrac{\sqrt7}{2}t)\big)\Big).

Passo 8

Resumo e comentário final: as constantes C_1,C_2 são reais e determinadas por condições iniciais que você possa ter (por exemplo (x(0),y(0))). A solução obtida é real, e mostra que o sistema tem comportamento oscilatório (senos e cossenos) multiplicado por um fator exponencial e^{\frac{3}{2}t} — como \alpha=\tfrac{3}{2}>0, as oscilações crescem exponencialmente.

Resposta

x(t)=e^{\frac{3}{2}t}\Big(C_1\cos\big(\tfrac{\sqrt7}{2}t\big)+C_2\sin\big(\tfrac{\sqrt7}{2}t\big)\Big)
y(t)=\frac{e^{\frac{3}{2}t}}{2}\Big(C_1\big(-\cos\big(\tfrac{\sqrt7}{2}t\big)+\sqrt7\sin\big(\tfrac{\sqrt7}{2}t\big)\big) + C_2\big(-\sin\big(\tfrac{\sqrt7}{2}t\big)-\sqrt7\cos\big(\tfrac{\sqrt7}{2}t\big)\big)\Big),
onde C_1,C_2 são constantes reais arbitrárias.

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