Obtenha a solução do sistema de equações usando autovalores e autovetores:
\left\{\begin{array}{c}x^{\prime}=x-2 y+2 z \\\ y^{\prime}=-2 x+y-2 z \\\ z^{\prime}=2 x-2 y-z\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: obter a solução do sistema de equações dadas usando autovalores e autovetores. As equações fornecidas são:
\begin{cases} x' = x - 2y + 2z,\\[4pt] y' = -2x + y - 2z,\\[4pt] z' = 2x - 2y - z. \end{cases}
Informações relevantes: o sistema é linear e homogêneo de primeira ordem em três variáveis; devemos usar autovalores/autovetores (isto implica trabalhar com a matriz do sistema e diagonalizá-la, se possível). A resolução começará transformando o sistema em forma matricial e encontrando os autovalores e autovetores.]

Passo 2

Escrever o sistema em forma matricial. Defino o vetor coluna \mathbf{u}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[4pt]y(t)\\[4pt]z(t)\end{pmatrix}. A matriz dos coeficientes \,A, é a que multiplica \mathbf{u} nas equações; portanto:
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2\\[4pt] -2 & 1 & -2\\[4pt] 2 & -2 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{u}'(t) = A\,\mathbf{u}(t).
Conceito usado (explicação didática): se conseguimos escrever A na forma A=PDP^{-1}, com D diagonal cujas entradas são os autovalores \lambda_i e P colunas formadas pelos autovetores correspondentes, então a solução geral é
\mathbf{u}(t) = P\,e^{D t}\,C,
onde C é um vetor constante (que pode ser escrito em componentes como constantes C_1,C_2,C_3). Na prática, isso se traduz em:
\mathbf{u}(t) = C_1 e^{\lambda_1 t}\mathbf{v}_1 + C_2 e^{\lambda_2 t}\mathbf{v}_2 + C_3 e^{\lambda_3 t}\mathbf{v}_3,
onde \mathbf{v}_i são autovetores de A com autovalores \lambda_i. Então precisamos achar os autovalores resolvendo \det(A-\lambda I)=0 e, para cada autovalor, encontrar um autovetor não nulo solucionando (A-\lambda I)\mathbf{v}=0.]

Passo 3

Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).
Escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & -2 & 2\\[4pt] -2 & 1-\lambda & -2\\[4pt] 2 & -2 & -1-\lambda \end{pmatrix}.
Calculo o determinante por expansão (mostro cada termo):
\begin{aligned} \det(A-\lambda I) &= (1-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda & -2\\[4pt]-2 & -1-\lambda\end{pmatrix} -(-2)\det\begin{pmatrix}-2 & -2\\[4pt]2 & -1-\lambda\end{pmatrix} +2\det\begin{pmatrix}-2 & 1-\lambda\\[4pt]2 & -2\end{pmatrix}. \end{aligned}
Calculo cada menor:
\det\begin{pmatrix}1-\lambda & -2\\[4pt]-2 & -1-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)(-1-\lambda)-(-2)(-2)=\lambda^2-5.
\det\begin{pmatrix}-2 & -2\\[4pt]2 & -1-\lambda\end{pmatrix}=(-2)(-1-\lambda)-(-2)(2)=6+2\lambda.
\det\begin{pmatrix}-2 & 1-\lambda\\[4pt]2 & -2\end{pmatrix}=(-2)(-2)-(1-\lambda)2=2+2\lambda.
Substituindo:
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(\lambda^2-5)+2(6+2\lambda)+2(2+2\lambda).
Simplificando os termos constantes:
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(\lambda^2-5)+12+4\lambda+4+4\lambda.
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(\lambda^2-5)+16+8\lambda.
Expandindo (1-\lambda)(\lambda^2-5):
(1-\lambda)(\lambda^2-5)=-\lambda^3+\lambda^2+5\lambda-5.
Portanto
\det(A-\lambda I)=-\lambda^3+\lambda^2+5\lambda-5+16+8\lambda=-\lambda^3+\lambda^2+13\lambda+11.
Multiplicando por -1 para escrever o polinômio padrão:
\lambda^3-\lambda^2-13\lambda-11=0.]

Passo 4

Fatorar o polinômio característico para achar os autovalores. Tento raízes racionais simples ( \pm1,\pm11). Testando \lambda=-1:
(-1)^3-(-1)^2-13(-1)-11=-1-1+13-11=0,
logo \lambda=-1 é raiz. Faço a divisão do polinômio por (\lambda+1) (ou uso fatoração):
\lambda^3-\lambda^2-13\lambda-11=(\lambda+1)(\lambda^2-2\lambda-11).
Resolve a quadrática:
\lambda^2-2\lambda-11=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{2\pm\sqrt{4+44}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{48}}{2}=1\pm2\sqrt{3}.
Assim os três autovalores são:
\lambda_1=-1,\qquad \lambda_2=1+2\sqrt{3},\qquad \lambda_3=1-2\sqrt{3}.

Passo 5

Encontrar um autovetor para \lambda_1=-1. Resolvemos (A+I)\mathbf{v}=0 (pois A-\lambda_1 I = A-(-1)I=A+I):
A+I=\begin{pmatrix}2 & -2 & 2\\[4pt]-2 & 2 & -2\\[4pt]2 & -2 & 0\end{pmatrix}.
Sistematizando as equações para \mathbf{v}=(x,y,z)^T:
2x-2y+2z=0,\qquad -2x+2y-2z=0,\qquad 2x-2y+0z=0.
Da terceira equação obtemos x-y=0\Rightarrow x=y. Substituindo em primeira: x-x+z=0\Rightarrow z=0. Logo um autovetor não nulo é
\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Encontrar um autovetor para \lambda_2=1+2\sqrt{3}. Escrevo A-\lambda_2 I e resolvo (A-\lambda_2 I)\mathbf{v}=0. As equações (divididas por 2 quando conveniente) levam a:
(-2\sqrt{3})x-2y+2z=0 \quad\Longrightarrow\quad -\sqrt{3}x-y+z=0,
-2x-2\sqrt{3}y-2z=0 \quad\Longrightarrow\quad -x-\sqrt{3}y-z=0,
2x-2y+(-2-2\sqrt{3})z=0 \quad\Longrightarrow\quad x-y+(-1-\sqrt{3})z=0.
Da combinação das duas primeiras equações, subtraindo convenientemente, encontramos x+y=0\Rightarrow y=-x. Substituindo em -\sqrt{3}x-y+z=0
z=\sqrt{3}x+y=\sqrt{3}x - x = x(\sqrt{3}-1).
Verificando na terceira equação ela fica satisfeita (cálculo direto confirma). Então podemos escolher x=1 e obter o autovetor
\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]\sqrt{3}-1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Encontrar um autovetor para \lambda_3=1-2\sqrt{3}. Procedimento análogo ao do passo anterior (troca apenas o sinal de \sqrt{3}). As equações implicam novamente y=-x e
z = y - \sqrt{3}x = -x -\sqrt{3}x = -x(1+\sqrt{3}).
Escolhendo x=1 obtemos um autovetor conveniente:
\mathbf{v}_3=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]-1-\sqrt{3}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Confirmo que os três autovetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 são linearmente independentes (eles pertencem a autovalores distintos, então são independentes). Assim A é diagonalizável e a solução geral do sistema é a combinação linear das soluções particulares exponenciais:
\mathbf{u}(t)=C_1 e^{\lambda_1 t}\mathbf{v}_1 + C_2 e^{\lambda_2 t}\mathbf{v}_2 + C_3 e^{\lambda_3 t}\mathbf{v}_3,
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se houver).
Escrevendo explicitamente em componentes (substituindo \lambda_i e \mathbf{v}_i):
\mathbf{u}(t)=C_1 e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} + C_2 e^{(1+2\sqrt{3})t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]\sqrt{3}-1\end{pmatrix} + C_3 e^{(1-2\sqrt{3})t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]-1-\sqrt{3}\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{aligned} x(t)&=C_1 e^{-t} + C_2 e^{(1+2\sqrt{3})t} + C_3 e^{(1-2\sqrt{3})t},\\[6pt] y(t)&=C_1 e^{-t} - C_2 e^{(1+2\sqrt{3})t} - C_3 e^{(1-2\sqrt{3})t},\\[6pt] z(t)&=C_2(\sqrt{3}-1)e^{(1+2\sqrt{3})t} - C_3(1+\sqrt{3})e^{(1-2\sqrt{3})t}, \end{aligned}
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias.]

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