Obtenha a solução do sistema de equações usando autovalores e autovetores: \left\{\begin{array}{c}x^{\prime}=x-2 y+2 z \\\ y^{\prime}=-2 x+y-2 z \\\ z^{\prime}=2 x-2 y-z\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede: obter a solução do sistema de equações dadas usando autovalores e autovetores. As equações fornecidas são:
\begin{cases} x' = x - 2y + 2z,\\[4pt] y' = -2x + y - 2z,\\[4pt] z' = 2x - 2y - z. \end{cases}
Informações relevantes: o sistema é linear e homogêneo de primeira ordem em três variáveis; devemos usar autovalores/autovetores (isto implica trabalhar com a matriz do sistema e diagonalizá-la, se possível). A resolução começará transformando o sistema em forma matricial e encontrando os autovalores e autovetores.]
Passo 2
Escrever o sistema em forma matricial. Defino o vetor coluna \mathbf{u}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[4pt]y(t)\\[4pt]z(t)\end{pmatrix}. A matriz dos coeficientes \,A, é a que multiplica \mathbf{u} nas equações; portanto:
Conceito usado (explicação didática): se conseguimos escrever A na forma A=PDP^{-1}, com D diagonal cujas entradas são os autovalores \lambda_i e P colunas formadas pelos autovetores correspondentes, então a solução geral é
\mathbf{u}(t) = P\,e^{D t}\,C,
onde C é um vetor constante (que pode ser escrito em componentes como constantes C_1,C_2,C_3). Na prática, isso se traduz em:
onde \mathbf{v}_i são autovetores de A com autovalores \lambda_i. Então precisamos achar os autovalores resolvendo \det(A-\lambda I)=0 e, para cada autovalor, encontrar um autovetor não nulo solucionando (A-\lambda I)\mathbf{v}=0.]
Passo 3
Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).
Encontrar um autovetor para \lambda_2=1+2\sqrt{3}. Escrevo A-\lambda_2 I e resolvo (A-\lambda_2 I)\mathbf{v}=0. As equações (divididas por 2 quando conveniente) levam a:
Encontrar um autovetor para \lambda_3=1-2\sqrt{3}. Procedimento análogo ao do passo anterior (troca apenas o sinal de \sqrt{3}). As equações implicam novamente y=-x e
z = y - \sqrt{3}x = -x -\sqrt{3}x = -x(1+\sqrt{3}).
Confirmo que os três autovetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 são linearmente independentes (eles pertencem a autovalores distintos, então são independentes). Assim A é diagonalizável e a solução geral do sistema é a combinação linear das soluções particulares exponenciais: