Obtenha a transformada de Fourier dos seguintes sinais através de integração e esboce o espectro de Fourier (somente magnitude),
6 e^-6 pi t u(t)

Passo 1

Beleza, temos o sinal
x(t)=6,e^-6pi t,u(t)
e queremos achar a Transformada de Fourier dele via integração e desenhar o módulo do espectro. Isso é da matéria de Sistemas Lineares e Sinais, mais precisamente de Transformada de Fourier contínua.
O que vamos usar:
  • Definição da transformada X(omega)=integral-infty^+inftyx(t),e^-jomega t,dt,
  • Propriedade da função escalão u(t) que “liga” o sinal só para t>=0.
    - Cálculo de integral de exponencial.

Passo 2

Escrevendo a definição e já usando u(t) para limitar a integral a [0,infty):
X(omega)=integral-infty^+infty6,e^-6pi t,u(t),e^-jomega t,dt =integral0^infty6,e^-6pi te^-jomega t,dt =integral0^infty6,e^-l(6pi +jomegar)t,dt

Passo 3

Agora calculamos a integral
integral0^inftye^-l(6pi +jomegar)t,dt
Lembra que integral0^inftye^-at,dt=1a se Rea>0. Aqui a=6pi+jomega tem parte real 6pi>0, então vale:
integral0^inftye^-(6pi+jomega)t,dt =16pi+jomega

Passo 4

Multiplicando o fator 6 que estava fora:
X(omega)=6;16pi+jomega =66pi+jomega
Essa é a transformada completa (complexa).

Passo 5

O enunciado pediu só a magnitude do espectro, ou seja
|X(omega)|=|66pi+jomega| =6l|6pi+jomegar| =6raiz(6pi)^2+omega^2

Passo 6

Esboçando |X(omega)| versus omega:
  • No centro ( omega=0) vale |X(0)|=6/(6pi)=1/piapprox0,318,.
  • Conforme |omega| cresce, o denominador cresce e o módulo decai em rampa suave, com cauda proporcional a 1/|omega|.
Então o gráfico é um “pico” em omega=0 decaindo simetricamente pros lados.

Resposta

Transformada de Fourier:
X(omega)=66pi+jomega, |X(omega)|=6raiz(6pi)^2+omega^2

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