Obtenha a Transformada Inversa de Laplace para as equações abaixo. Sugestão: Confira seus resultados utilizando a função residue do Matlab ou funções similares de outros pacotes computacionais.
\mathrm{C} H(s)=\frac{5 s+2}{(s+1)\left(s^{2}+2\right)}

Passo 1

O enunciado fornece
CH(s)=\frac{5s+2}{(s+1)(s^2+2)}
e pede a transformada inversa de Laplace c(t)=\mathcal{L}^{-1}\{CH(s)\}. Vamos usar decomposição em frações parciais e tabelas comuns de transformada de Laplace.

Passo 2

Assumimos a forma de frações parciais
\frac{5s+2}{(s+1)(s^2+2)} \;=\;\frac{A}{s+1} \;+\;\frac{Bs+C}{s^2+2}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s^2+2), obtemos a identidade de polinômios
5s+2 \;=\; A(s^2+2)+(Bs+C)(s+1).

Passo 3

Expandindo à direita e coletando termos, temos
A\,s^2+2A \;+\;B\,s^2+B\,s+C\,s+C \;=\;(A+B)s^2+(B+C)s+(2A+C).
Comparando coeficientes com 5s+2=0\cdot s^2+5s+2\), surge o sistema \[\begin{cases} A+B=0,\\\ B+C=5,\\\\ 2A+C=2. \end{cases}
Resolvendo, achamos A=-1\], \(B=1 e C=4.

Passo 4

Substituindo em cada fração:
CH(s)=-\frac{1}{s+1}+\frac{s+4}{s^2+2} \;=\;-\,\frac{1}{s+1}+\frac{s}{s^2+2}+4\,\frac{1}{s^2+2}.
Usamos as transformadas inversas padrão:
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s+1)\}=e^{-t},
\mathcal{L}^{-1}\{s/(s^2+2)\}=\cos(\sqrt{2}\,t),
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s^2+2)\}=(1/\sqrt{2})\sin(\sqrt{2}\,t).

Passo 5

Aplicando as inversas termo a termo,
c(t) =-\,e^{-t} +\cos(\sqrt{2}\,t) +4\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}\,t) =-e^{-t}+\cos(\sqrt{2}t)+2\sqrt{2}\,\sin(\sqrt{2}t).

Resposta

c(t)=-e^{-t}+\cos\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr)+2\sqrt{2}\,\sin\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr).

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