Resolva as equações diferenciais abaixo utilizando a Transformada de Laplace e a respectiva inversa. Sugestão: Neste exercício atente-se para a relação entre a localização dos polos da Transformada de Laplace e o comportamento do sistema.
\ddot{y}(t)=-4 \dot{y}(t)-3 y(t)+2 r(t), para y(0)=1, \dot{y}(0)=0 e r(t)=1, t \geq 0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\ddot{y}(t) = -4\dot{y}(t) - 3y(t) + 2r(t),
com y(0)=1, \dot{y}(0)=0 e r(t)=1 para t\ge0. Vamos usar a Transformada de Laplace para passar para o domínio s, resolver algebricamente e depois aplicar a inversa de Laplace para obter y(t).

Passo 2

Tomando a Transformada de Laplace em ambos os lados e usando
\mathcal{L}\{\ddot y\}(s)=s^2Y(s)-s y(0)-\dot y(0), \quad \mathcal{L}\{\dot y\}(s)=sY(s)-y(0), \quad \mathcal{L}\{1\}(s)=\frac1s,
obtemos
s^2Y(s)-s\cdot1-0 = -4\bigl(sY(s)-1\bigr)-3Y(s)+2\cdot\frac1s.

Passo 3

Organizando os termos em Y(s):
s^2Y(s)-s = -4sY(s)+4 -3Y(s)+\frac{2}{s} \quad\Longrightarrow\quad \bigl(s^2+4s+3\bigr)Y(s) = s+4+\frac{2}{s}.
Como s^2+4s+3=(s+1)(s+3), temos
Y(s)=\frac{s+4}{(s+1)(s+3)} \;+\;\frac{2/s}{(s+1)(s+3)}.

Passo 4

Fazemos frações parciais em cada parcela.
  1. Para \displaystyle\frac{s+4}{(s+1)(s+3)}, escrevemos
\frac{s+4}{(s+1)(s+3)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+3},
que leva a A+B=1 e 3A+B=4. Daí A=3/2, B=-1/2.
  1. Para \displaystyle\frac{2}{s(s+1)(s+3)}, escrevemos
\frac{2}{s(s+1)(s+3)}=\frac{C}{s}+\frac{D}{s+1}+\frac{E}{s+3},
que leva a C=2/3, D=-1, E=1/3.
Somando as parcelas,
Y(s) =\frac{3/2}{s+1}-\frac{1/2}{s+3} +\frac{2/3}{s}-\frac{1}{s+1}+\frac{1/3}{s+3},
e agrupando:
Y(s)=\frac{2/3}{s}+\frac{1/2}{s+1}-\frac{1/6}{s+3}.

Passo 5

Aplicando a inversa de Laplace:
y(t) = \frac{2}{3}\cdot1 + \frac{1}{2}e^{-t} - \frac{1}{6}e^{-3t}, \quad t\ge0.

Resposta

y(t)=\frac{2}{3}+\frac{1}{2}e^{-t}-\frac{1}{6}e^{-3t}.

Exercícios relacionados