Resolva as equações diferenciais abaixo utilizando a Transformada de Laplace e a respectiva inversa. Sugestão: Neste exercício atente-se para a relação entre a localização dos polos da Transformada de Laplace e o comportamento do sistema.
, para
e
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com
,
e
para
. Vamos usar a Transformada de Laplace para passar para o domínio
, resolver algebricamente e depois aplicar a inversa de Laplace para obter
.
Passo 2
Tomando a Transformada de Laplace em ambos os lados e usando
obtemos
Passo 3
Organizando os termos em
:
Como
, temos
Passo 4
Fazemos frações parciais em cada parcela.
- Para
, escrevemos
que leva a
e
. Daí
,
.
- Para
, escrevemos
que leva a
,
,
.
Somando as parcelas,
e agrupando:
Passo 5
Aplicando a inversa de Laplace: