Q 4. ( 2.0 ponto) O fluxo elétrico resultante de uma caixa em forma de cubo com lado de 20,0 \mathrm{~cm} é de 480 \times 10^{3} \mathrm{Nm}^{2} / \mathrm{C}. Qual é o valor da carga encapsulada pela caixa?
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Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
  • Lado do cubo: 20,0\\ \mathrm{cm}.
  • Fluxo elétrico resultante através da superfície fechada do cubo: \Phi = 480\times10^{3}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C}.
  • Pergunta: determinar a carga encapsulada pela caixa (a carga dentro do cubo), isto é, encontrar q_{\mathrm{enc}}.

Passo 2

O que é fluxo elétrico? Vou explicar devagar e com jeitinho: o fluxo elétrico \Phi através de uma superfície fechada mede “quantas linhas de campo” elétrico atravessam essa superfície. Matematicamente, para uma superfície fechada:
\Phi=\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A},
onde \mathbf{E} é o campo elétrico em cada ponto da superfície e d\mathbf{A} é um vetor de área (direção normal e magnitude igual à área infinitesimal). As unidades de \Phi são \mathrm{N\,m^{2}/C}, como dado no enunciado.

Passo 3

A lei que relaciona fluxo elétrico total através de uma superfície fechada com a carga dentro dela é a Lei de Gauss. Em forma simples:
\Phi = \frac{q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0}.
Aqui:
  • \Phi é o fluxo elétrico total (já dado).
  • q_{\mathrm{enc}} é a carga elétrica total encapsulada pela superfície (o que queremos).
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante física). Vou usar a aproximação padrão:
\varepsilon_0 = 8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\,m^{2})}.
Expliquei o que cada símbolo significa para você não se perder na hora da prova.

Passo 4

Importante observar: o problema deu o fluxo total \Phi. Pela Lei de Gauss, essa \Phi já contém toda a informação necessária para achar q_{\mathrm{enc}}; a forma ou o tamanho do cubo (o lado de 20,0\\ \mathrm{cm}) não é necessária para o cálculo, desde que o fluxo total seja o que foi informado. Ou seja, basta usar \Phi e \varepsilon_0.

Passo 5

Isolamos q_{\mathrm{enc}} na expressão da Lei de Gauss:
q_{\mathrm{enc}} = \varepsilon_0\,\Phi.
Agora substituímos os valores (vou colocar \Phi em notação científica para multiplicar direitinho):
\Phi = 480\times10^{3}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C} = 4,80\times10^{5}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C}.
Portanto:
q_{\mathrm{enc}} = (8,85\times10^{-12})\times(4,80\times10^{5})\\ \mathrm{C}.

Passo 6

Fazendo a multiplicação passo a passo:
  • Multiplica-se os coeficientes: 8,85\times4,80 = 42,48.
  • Soma-se os expoentes de 10: -12 + 5 = -7.
    Logo
q_{\mathrm{enc}} = 42,48\times10^{-7}\\ \mathrm{C}.
Rewrite em notação científica padrão (um dígito antes da vírgula):
q_{\mathrm{enc}} = 4,248\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.

Passo 7

Arredondando conforme algarismos significativos dos dados (o enunciado dá 20,0\\ \mathrm{cm} e 480\times10^{3} sugere cerca de 3 algarismos significativos), usamos três algarismos significativos:
q_{\mathrm{enc}} \approx 4,25\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Em unidades mais usuais, isso é
q_{\mathrm{enc}} \approx 4,25\\ \mu\mathrm{C}.
Faço também uma checagem de unidade rápida: \varepsilon_0 tem unidades \mathrm{C^{2}/(N\,m^{2})} e \Phi tem \mathrm{N\,m^{2}/C}; multiplicando, sobram \mathrm{C}. Ótimo — unidade consistente.

Passo 8

Resumo prático para prova (cola mental): se te derem fluxo total de uma superfície fechada, aplica Gauss q=\varepsilon_0\Phi. Não precisa saber o campo nem a geometria se o fluxo total já vier dado. Respira fundo — é só multiplicar pela constante \varepsilon_0.

Resposta

q_{\mathrm{enc}} = 4,25\times10^{-6}\\ \mathrm{C}
q_{\mathrm{enc}} = 4,25\\ \mu\mathrm{C}

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