Obtenha a transformada de Laplace de:
Passo 1
O enunciado pede: obter a transformada de Laplace da função
Informações dadas:
é a delta de Dirac concentrada em
,
é a função degrau unitário (Heaviside) e há um termo exponencial
.
A tarefa é calcular , ou seja, a transformada de Laplace de
.
A tarefa é calcular
Passo 2
Lembrando a definição e ideia básica da transformada de Laplace: para uma função
definida para
,
Aqui
é uma variável complexa; normalmente escrevemos condições de convergência em termos da parte real
. A transformada é linear, ou seja, para constantes
e funções
,
Vou usar essas propriedades termo a termo.
Passo 3
Propriedades especiais úteis (vou explicar cada uma e por que valem):
- Transformada da delta de Dirac deslocada: para
,
No caso
isso dá
. A razão: aplicar a definição com a propriedade de amostragem da delta,
quando
.
- Transformada do degrau unitário: para
(igual a 1 para ),
desde que a integral convirja, isto é,
. Vou detalhar esse cálculo no próximo passo.
- Transformada da exponencial multiplicada pelo degrau: para
,
quando
(ou seja
).
Passo 4
Calculo de
passo a passo: pela definição com a delta e o fato de que
“pega” o valor em
,
Então o primeiro termo contribui com
.
Passo 5
Calculo de
passo a passo: usar a integral geométrica
Integro explicitamente:
Para que o termo em
zere precisamos de
; então o resultado é
Portanto o segundo termo
contribui com
.
Passo 6
Calculo de
passo a passo: aplicando a propriedade da exponencial,
Integrando da mesma forma que antes:
desde que
, isto é,
. Então o termo
contribui com
.
Passo 7
Agora uso a linearidade para somar as contribuições dos três termos. Juntando:
Se preferir uma única fração, faço a soma algébrica com denominador comum
:
Somando (lembre do sinal negativo no terceiro termo):
Observação: tanto a forma
quanto a forma
representam a mesma transformada.
Passo 8
Condição de convergência (ROC): a transformada do termo
exige
, e a do
exige
. A interseção das condições é
. A delta não impõe restrição extra. Portanto o ROC é
.