Use a transformada de Laplace para solucionar a equação:
Passo 1
O enunciado pede que resolvamos a equação integral-diferencial abaixo, encontrando
que satisfaça as condições dadas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação relaciona a derivada
, a função e a integral acumulada . - Há um termo forçante
. - Condição inicial:
.
A partir daqui vamos transformar a equação em álgebra (no próximo passo) para poder resolver passo a passo.
Passo 2
Vou usar transformadas integrais para transformar a equação em uma equação algébrica em função de
. Antes de aplicar, resumo as fórmulas que usarei e explico o que cada símbolo significa.
Definição da transformada (isso é a “ferramenta”):
onde
é a variável de tempo da função original
e
é a variável complexa da transformada (pensar em
como um parâmetro onde a integral é feita).
Propriedades úteis (e por que são verdadeiras, de maneira simples):
- Linearidade:
. - Derivada no tempo: se
então
Explicação rápida: vem de integrar por partes a definição da transformada aplicada a
.
3. Integral acumulada: para a função (a primitiva de
com constante zero), vale
3. Integral acumulada: para a função
Explicação rápida: esta propriedade segue porque a transformada de uma convolução com
ou usando integração direta produz um fator
.
4. Transformada de uma exponencial simples:
4. Transformada de uma exponencial simples:
Com isso em mãos podemos transformar termo a termo a equação diferencial original.
Passo 3
Aplique a transformada
à equação inteira. Denote
. Transformando cada termo:
Transformada de
:
pois
.
Transformada de
:
Transformada de
:
Transformada do lado direito
:
Somando tudo (pela linearidade) obtemos a equação algébrica em
:
Passo 4
Isolamos
. Primeiro fatoramos
:
Colocando em denominador comum (multiplicando ambos os lados por
) para simplificar:
Calcule o polinômio no parêntese:
Observe que
fatoriza:
Logo
Finalmente isolamos
:
Essa é a forma que vamos decompor em frações parciais para voltar ao tempo.
Passo 5
Fazemos decomposição em frações parciais. Procuramos constantes
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Usamos o método “cover-up” (substituir raízes simples) para achar
rapidamente.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Portanto a decomposição é
Passo 6
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Lembrando que
temos
Vamos fazer uma checagem rápida (útil para a prova): verifique
ok satisfaz a condição inicial. Uma verificação direta na equação (opcional) confirma que
satisfaz a identidade original (pode-se derivar
, calcular a integral acumulada explicitamente e somar os termos para obter
).