Use a transformada de Laplace para solucionar a equação:
\frac{d y}{d t}+3 y(t)+2 \int_{0}^{t} y(\tau) d \tau=2 e^{-3 t}, \quad y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede que resolvamos a equação integral-diferencial abaixo, encontrando y(t) que satisfaça as condições dadas:
\frac{d y}{d t}+3 y(t)+2 \int_{0}^{t} y(\tau)\, d \tau=2 e^{-3 t}, \quad y(0)=0.
Informações relevantes fornecidas:
  1. A equação relaciona a derivada \frac{d y}{d t}, a função y(t) e a integral acumulada \int_{0}^{t} y(\tau)\,d\tau.
  2. Há um termo forçante 2 e^{-3t}.
  3. Condição inicial: y(0)=0.
    A partir daqui vamos transformar a equação em álgebra (no próximo passo) para poder resolver passo a passo.

Passo 2

Vou usar transformadas integrais para transformar a equação em uma equação algébrica em função de s. Antes de aplicar, resumo as fórmulas que usarei e explico o que cada símbolo significa.
Definição da transformada (isso é a “ferramenta”):
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt,
onde t é a variável de tempo da função original f(t) e s é a variável complexa da transformada (pensar em s como um parâmetro onde a integral é feita).
Propriedades úteis (e por que são verdadeiras, de maneira simples):
  1. Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}(s)=a\mathcal{L}\{f\}(s)+b\mathcal{L}\{g\}(s).
  2. Derivada no tempo: se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s) então
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0).
Explicação rápida: vem de integrar por partes a definição da transformada aplicada a y'(t).
3. Integral acumulada: para a função z(t)=\int_0^t y(\tau)\,d\tau (a primitiva de y com constante zero), vale
\mathcal{L}\left\{\int_0^t y(\tau)\,d\tau\right\}(s)=\frac{1}{s}Y(s).
Explicação rápida: esta propriedade segue porque a transformada de uma convolução com 1 ou usando integração direta produz um fator 1/s.
4. Transformada de uma exponencial simples:
\mathcal{L}\{e^{-a t}\}(s)=\frac{1}{s+a},\quad \text{para } \operatorname{Re}(s)>-a.
Com isso em mãos podemos transformar termo a termo a equação diferencial original.

Passo 3

Aplique a transformada \mathcal{L}\{\cdot\} à equação inteira. Denote Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s). Transformando cada termo:
Transformada de \frac{d y}{d t}:
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0)=sY(s)-0=sY(s),
pois y(0)=0.
Transformada de 3y(t):
\mathcal{L}\{3y(t)\}(s)=3Y(s).
Transformada de 2\int_{0}^{t} y(\tau)\,d\tau:
\mathcal{L}\left\{2\int_{0}^{t} y(\tau)\,d\tau\right\}(s)=2\cdot\frac{1}{s}Y(s)=\frac{2}{s}Y(s).
Transformada do lado direito 2 e^{-3t}:
\mathcal{L}\{2 e^{-3t}\}(s)=2\cdot\frac{1}{s+3}=\frac{2}{s+3}.
Somando tudo (pela linearidade) obtemos a equação algébrica em Y(s):
sY(s)+3Y(s)+\frac{2}{s}Y(s)=\frac{2}{s+3}.

Passo 4

Isolamos Y(s). Primeiro fatoramos Y(s):
\left(s+3+\frac{2}{s}\right)Y(s)=\frac{2}{s+3}.
Colocando em denominador comum (multiplicando ambos os lados por s) para simplificar:
\bigl(s\bigl(s+3\bigr)+2\bigr)Y(s)=\frac{2s}{s+3}.
Calcule o polinômio no parêntese:
s(s+3)+2 = s^2+3s+2.
Observe que s^2+3s+2 fatoriza:
s^2+3s+2=(s+1)(s+2).
Logo
\bigl((s+1)(s+2)\bigr) Y(s)=\frac{2s}{s+3}.
Finalmente isolamos Y(s):
Y(s)=\frac{2s}{(s+3)(s+1)(s+2)}.
Essa é a forma que vamos decompor em frações parciais para voltar ao tempo.

Passo 5

Fazemos decomposição em frações parciais. Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{2s}{(s+1)(s+2)(s+3)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{s+3}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+2)(s+3) obtemos a identidade polinomial
2s = A(s+2)(s+3)+B(s+1)(s+3)+C(s+1)(s+2).
Usamos o método “cover-up” (substituir raízes simples) para achar A,B,C rapidamente.
  1. Para s=-1:
2(-1) = -2 = A\cdot(1)\cdot(2) = 2A \quad\Rightarrow\quad A=-1.
  1. Para s=-2:
2(-2) = -4 = B\cdot(-1)\cdot(1) = -B \quad\Rightarrow\quad B=4.
  1. Para s=-3:
2(-3) = -6 = C\cdot(-2)\cdot(-1)=2C \quad\Rightarrow\quad C=-3.
Portanto a decomposição é
Y(s)=-\frac{1}{s+1}+\frac{4}{s+2}-\frac{3}{s+3}.

Passo 6

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Lembrando que
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\}(t)=e^{-a t},
temos
y(t) = -e^{-t}+4e^{-2t}-3e^{-3t}.
Vamos fazer uma checagem rápida (útil para a prova): verifique y(0)
y(0) = -1 + 4 - 3 = 0,
ok satisfaz a condição inicial. Uma verificação direta na equação (opcional) confirma que y(t) satisfaz a identidade original (pode-se derivar y, calcular a integral acumulada explicitamente e somar os termos para obter 2e^{-3t}).

Resposta

y(t)=-e^{-t}+4e^{-2t}-3e^{-3t}

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