Obtenha o valor, usando séries geométricas:
sumn=3^infty pi(12)^2 n-7,

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série
S = sumn=3^infty pi(12)^2n-7
Este é um caso de série geométrica infinita. Vamos usar a fórmula
sumk=0^infty a,r^k = a1-r,
válida quando |r|<1.

Passo 2

Para simplificar o expoente, faça a mudança de índice
k = n - 3 Longrightarrow n = k + 3
Então
2n - 7 = 2(k+3) - 7 = 2k - 1
e
l(tfrac12r)^2n-7 = l(tfrac12r)^2k-1

Passo 3

Reescrevendo S em função de k:
S = sumn=3^infty pil(tfrac12r)^2n-7 = pi sumk=0^infty l(tfrac12r)^2k-1 = pi l(tfrac12r)^-1 sumk=0^infty l(tfrac12r)^2k = 2pi sumk=0^infty l(tfrac14r)^k

Passo 4

Aqui temos uma série geométrica com primeiro termo a=1 e razão r=tfrac14, e |r|<1. Logo,
sumk=0^infty l(tfrac14r)^k = 11-tfrac14 = 43

Passo 5

Substituindo esse resultado em S:
S = 2pi cdot 43 = 8pi3

Resposta

8pi3

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